Διωνυμική Κατανομή - μία ολοκληρωμένη θεώρηση

Η διωνυμική κατανομή (binomial distribution) είναι η πιο διαδεδομένη διακριτή κατανομή πιθανότητας.
Οι περιπτώσεις στις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί είναι δύο:

1. Κατά την εξέταση ενός δείγματος από πληθυσμό με δύο μόνο είδη μελών (π.χ. άνδρες και γυναίκες).
2. Κατά την πραγματοποίηση μιας σειράς τυχαίων πειραμάτων κάτω από τις ίδιες συνθήκες, όπου το κάθε πείραμα παρουσιάζει δύο μόνο πιθανά ενδεχόμενα. 

Αν Χ ο αριθμός των επιτυχιών σε μια ακολουθία n ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p σε όλες τις δοκιμές, τότε η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ καλείται διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και p και συμβολίζεται με B(n, p) .

Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli1, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά αποτελέσματα. Το ένα αποτέλεσμα έχει επικρατήσει να ονομάζεται επιτυχία και το άλλο αποτυχία. Το πιο «δημοφιλές» στη βιβλιογραφία παράδειγμα δοκιμής Bernoulli είναι η ρίψη ενός νομίσματος μία φορά. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι προφανώς μόνο δύο: «κεφαλή» ή «γράμματα». Αν μας ενδιαφέρει η ένδειξη «κεφαλή» χαρακτηρίζουμε επιτυχία το αποτέλεσμα «κεφαλή» και αποτυχία το αποτέλεσμα «γράμματα» ενώ αν μας ενδιαφέρει η ένδειξη «γράμματα» χαρακτηρίζουμε επιτυχία το αποτέλεσμα «γράμματα» και αποτυχία το αποτέλεσμα «κεφαλή». Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα: Μας ενδιαφέρει να διατυπώσουμε πιθανοθεωρητικά συμπεράσματα

α) για τον αριθμό των ζώων μιας κτηνοτροφικής μονάδας που έχουν προσβληθεί από μια συγκεκριμένη ασθένεια. Η εξέταση ενός ζώου για το αν έχει προσβληθεί ή όχι από την ασθένεια είναι δοκιμή Bernoulli γιατί τα δυνατά αποτελέσματα είναι μόνο δύο: το ζώο είτε έχει προσβληθεί (επιτυχία) είτε δεν έχει προσβληθεί (αποτυχία)
β) για τον αριθμό αλλοιωμένων προϊόντων που είναι αποθηκευμένα στις εγκαταστάσεις μιας βιομηχανικής μονάδας επεξεργασίας αγροτικών προϊόντων. Ο έλεγχος ενός προϊόντος για το αν είναι αλλοιωμένο ή όχι είναι δοκιμή Bernoulli γιατί το προϊόν είτε έχει αλλοιωθεί (επιτυχία) είτε δεν έχει αλλοιωθεί (αποτυχία)
γ) για τον αριθμό των φυτών μιας καλλιέργειας που η ξηρή φυτική μάζα τους ξεπερνάει τα 150gr. Ο έλεγχος ενός φυτού για το αν η ξηρή μάζα του ξεπερνάει ή όχι τα 150gr είναι δοκιμή Bernoulli γιατί το φυτό έχει ξηρή μάζα είτε μεγαλύτερη από 150gr (επιτυχία) είτε το πολύ 150gr (αποτυχία)
δ) για τον αριθμό των φυτών μιας καλλιέργειας που έχουν λιγότερα από 6 φύλλα. Ο έλεγχος ενός φυτού για το αν έχει λιγότερα από 6 φύλλα είναι δοκιμή Bernoulli γιατί το φυτό έχει είτε λιγότερα από 6 (επιτυχία) είτε τουλάχιστον 6 φύλλα (αποτυχία). 

Η μέση τιμή μ της Χ είναι μ = E(X ) = 0 ⋅ f (0) +1⋅ f (1) = p και η διασπορά της σ² = E( X² ) − [E(X)]² = 0² ⋅ f (0) + 1² ⋅ f (1) − p² = p − p² = p ⋅ (1− p) = p ⋅ q .
Πηγή:[1]

Έστω Χ διακριτή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας με x=0…n ,n=1,2…, q=1-p
P(X=x)= (q^n-x)

Τότε θα λέμε ότι η x~Bin(n,p) δηλαδή η τυχαία διακριτή μεταβλητή X θα ακολουθεί την Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και p.
Πηγή: [2]


Γενικεύοντας το δείγμα. Αν έχουμε για κάθε μεμονωμένη παρατήρηση δύο ενδεχόμενα Α και Β για τα οποία δεν έχουμε λόγο να πιστεύουμε ότι το ένα ευνοείται έναντι του άλλου, π.χ. κορώνα-γράμματα, τότε λέμε ότι αυτά θα έχουν ίση πιθανότητα Ρ = 0,5. Αν πάρουμε ένα δείγμα από Ν παρατηρήσεις, τότε θα έχουμε 2^N διαφορετικούς συνδυασμούς από Α και Β παρμένα συνολικά Ν φορές, όλους ισοπίθανους μεταξύ τους. Αυτοί είναι τα διαφορετικά ενδεχόμενα για το δείγμα μας.

Αφού είναι ισοπίθανα και δεν επηρεάζει το ένα το άλλο, η κατανομή πληθυσμού για καθένα από αυτά θα είναι 1 /2^N= 0,5^N. Αν ορίσουμε ως στατιστικό τη συχνότητα εμφάνισης του Β, τότε ας παραστήσουμε με p(X) την τιμή του για Χεμφανίσεις του Β. Εργαζόμενοι όπως και πριν, βάσει του αριθμού των συνδυασμών, θα προβλέψουμε την κατανομή πληθυσμού ορίζοντας μια αντίστοιχη παράμετρο Ρ(Χ) = {αριθμός συνδυασμών με Χ φορές το Β} / 2^N. Ξέρουμε όμως από τον κλάδο της συνδυαστικής ότι ο αριθμητής της ανωτέρω παράστασης είναι ο αριθμός των μεταθέσεων με επανάληψη, Ν αντικειμένων όπου Χείναι ίδια και Ν-Χ, πάλι ίδια μεταξύ τους, ή "πλήθος συνδυασμών Ν ανά Χ" που δίνεται από την παράσταση Ν/Χ(Ν-Χ)! Επομένως, η κατανομή του πληθυσμού που προβλέπουμε θα είναι Ρ(Χ) = Ν/Χ(Ν-Χ)! , δηλαδή το γινόμενο της πιθανότητας κάθε μεμονωμένου συνδυασμού επί τον αριθμό των συνδυασμών που έχουν Χ φορές το Β, δίνει την πιθανότητα ένα δείγμα Ν παρατηρήσεων να έχει Χ "επιτυχίες".

Επειδή η παράσταση Ν!/Χ!(Ν-Χ)! εμφανίζεται και ως συντελεστής δυνάμεων στο ανάπτυγμα του διωνύμου (1 + α)^N για τον Χ-στό όρο, η παραπάνω κατανομή ονομάζεται διωνυμική. Όμως, αυτή δεν είναι η πιο γενική της μορφή. Ας δούμε την περίπτωση όπου τα βασικά ενδεχόμενα Α, Β των παρατηρήσεών μας δεν είναι ισοπίθανα, αλλά το ένα ευνοείται έναντι του άλλου. Π.χ. έχουμε μια μηχανή που παράγει εξαρτήματα και γνωρίζουμε ότι ένα στα δέκα βγαίνει ελαττωματικό. Αν αυτό είναι το ενδεχόμενο Β, ενώ το να βγει "καλό" είναι το ενδεχόμενο Α, τότε θα αποδώσουμε στο Α πιθανότητα 9/10 και στο Β πιθανότητα 1/10. Τότε, για να βγάλουμε την κατανομή για δείγματα Ν εξαρτημάτων από τα οποία Χ είναι ελαττωματικά, θα εργαστούμε παρόμοια με πριν. Θα σκιαγραφήσουμε λίγο πιο αναλυτικά, τα σημεία όπου υπάρχουν διαφορές. Έστω το δείγμα ΒΒΑΑΑ.... Κάνοντας την πρώτη παρατήρηση υπάρχει 1/10 πιθανότητα να προκύψει το Β. Με δεδομένο αυτό υπάρχει 1 στις 10 να προκύψει Β στη δεύτερη και επομένως (1/10) (1/10) να βγούνε δύο Β στη σειρά. Παρόμοια (1/10) (1/10) (9/10) να προκύψει ΒΒΑ κλπ. Αλλά αν δεχτούμε ότι η μία παρατήρηση δεν επηρεάζει την άλλη (αυτό βέβαια εξαρτάται από το πώς λειτουργεί η μηχανή για το συγκεκριμένο παράδειγμα), τότε για Χ εμφανίσεις του Β, θα έχουμε (\frac{1}{10})^x πιθανότητα για ένα τέτοιο δείγμα Ν εξαρτημάτων, με όποια σειρά κι αν εμφανιστούν τα Α και Β. Αλλά το πλήθος των δειγμάτων Ν εξαρτημάτων με Χ ελαττωματικά θα δίνεται και πάλι από το διωνυμικό συντελεστή, οπότε θα ισχύει Ρ(Χ) = Ν!/Χ!(Ν-Χ)! (1/10)Χ(9/10)Ν-Χ

Διωνυμική κατανομή Προϋποθέσεις

Η Διωνυμική κατανομή είναι μια ασυνεχής κατανομή με πολλές εφαρμογές στην καθημερινή ζωή.Η εφαρμογή της βασίζεται στις εξής τέσσερις προϋποθέσης:

(a)Οι παρατηρήσεις ταξινομούνται σε δύο αμοιβαίως αποκλειόμενες κατηγορίες , που συνήθως ονομάζονται επιτυχία και αποτυχία.

(b)Η πιθανοτητα της επιτυχίας ισούται με p , και είναι σταθερή σε όλες τις παρατηρήσεις.Έτσι η πιθανότητα να ανήκει στην συμπληρωματική της , δηλαδη στην αποτυχιά ισούται με 1-p και είναι και αυτή σταθερή για όλες τις παρατηρήσεις.

 (c)Η προηγούμενη προϋπόθεση σημαίνει ότι οι παρατηρήσεις είτε προέρχονται από άπειρους πληθυσμούς χωρίς επανατοποθέτηση είτε από πεπερασμένους με επανατοποθέτηση πληθυσμούς.Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι σε πεπερασμένο αριθμό παρατηρήσεων μετά την δειγματοληψία ο ΄΄κλήρος΄΄ επανατοποθετείται ΄΄κληρωτίδα΄΄ έτσι ώστε η πιθανότητα επιτυχίας να παραμένει σταθερή.

(d)Το αποτέλεσμα κάθε παρατήρησης πρέπει να είναι ανεξάρτητο από τα αποτελέσματα των άλλων παρατηρήσεων (κατι που ισχύει αν ικανοποιείται η προϋπόθεση της σταθερότητας των πιθανοτήτων όπως προαναφέραμε). 

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΩΝΙΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ μ = Νp
ΔΙΑΣΠΟΡΑ σ 2 = Npq
ΤΥΠΙΚ.ΑΠΟΚΛΙΣΗ σ = ρίζα του Npq
ΣΥΝΤ.ΡΟΠΗΣ ΛΟΞΩΣΗΣ α 3 =q-p/ ρίζα του Npq
ΣΥΝΤ. ΡΟΠΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ α 4 = 3+( 1-6pq/Npq)

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: MYRRAY R. SPIEGEL - LARRY J. STEPHENS, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3η ΕΚΔΟΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ


Επιπλέον Προϋποθέσεις χρήσης της διωνυμικής κατανομής
 
Πότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διωνυμική κατανομή: όταν τα ενδεχόμενα δεν είναι ανεξάρτητα. Πολλές αιτίες μπορεί να υπάρχουν για να συμβεί κάτι τέτοιο αλλά μία από αυτές είναι ο τρόπος με τον οποίο εμείς κάνουμε τη δειγματοληψία: αν πάρουμε ένα αντικείμενο από μία συλλογή Ν άσπρων ή μαύρων αντικειμένων και δεν το επιστρέψουμε, η πιθανότητα να βγει άσπρο ή μαύρο το επόμενο θα έχει αλλάξει. Αν Χείναι τα μαύρα και Ν-Χτα άσπρα, έστω ότι το πρώτο ήταν μαύρο. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό ήταν Χ/Ν. Αν βγάλουμε το πρώτο εκτός, η πιθανότητα να βγει το δεύτερο μαύρο θα είναι (Χ-1)/(Ν-1) που είναι εν γένει διαφορετικός αριθμός. Αν όμως το επανατοποθετήσουμε, οι πιθανότητες μένουν ίδιες. Αν ο πληθυσμός είναι αρκετά μεγάλος σε σχέση με το δείγμα τότε μπορούμε να αποσύρουμε δείγμα χωρίς να αλλοιωθεί σημαντικά η πιθανότητα.

Εμπειρικός κανόνας: αν πληθυσμός > 20 φορές το δείγμα, μπορούμε να πούμε ότι τα ενδεχόμενα είναι προσεγγιστικά ανεξάρτητα και να εφαρμόσουμε τη διωνυμική κατανομή.

Με τις παραπάνω προϋποθέσεις να ακολούθουνται προκύπτει ένας τελικός μαθηματικός τύπος προσδιορισμού των πιθανοτήτων της διωνυμικής κατανομής.

 Τύπος:

Αυτή είναι η γενική μορφή της διωνυμικής κατανομής. Προσέξτε ότι τα p, q είναι παράμετροι της κατανομής και όχι στατιστικά δείγματος. Τώρα, η διωνυμική κατανομή συνηθίζεται να δίνεται σε πίνακες ως συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος Ν, των αριθμών επιτυχίας Χ και της πιθανότητας "επιτυχίας" ανά παρατήρηση, p (ορίζοντας τα δύο ενδεχόμενα ως "επιτυχία" και "αποτυχία", ο,τι και αν σημαίνει αυτό). Δίνεται επίσης και από συναρτήσεις στα προγράμματα λογιστικών φύλλων όπως Excel και OpenOfficeCalc.


Αναγωγικός Τύπος
 
Στη διωνυμική κατανομή αποδεινκύεται εύκολα ένας αναγωγικός τύπος ο οποίος μας δίνει την πιθανότητα P(X = x+1) όταν γνωρίζουμε την αμέσως προηγούμενη P(X=x).

Ο τύπος είναι:
P(X = x + 1) = ( / nu − x) / (x + 1) * p / q * P(X = x)

Παράδειγμα 1

Ποια είναι η πιθανότητα σε μια παρέα 3 ατόμων οι δύο να έχουν κινητό τηλέφωνο , όταν είναι γνωστό ότι το 40% των ατόμων έχουν κινητό τηλέφωνο;

Οι τιμές των δεδομένων τουπροβλήματος είναι n=3, X=2 , p=0.4.Έτσι: ή 28,8%

Παράδειγμα 2

Πιθανότητα ελαττωματικού εξαρτήματος σε μία παρατήρηση: 0.1

α) Ποια η πιθανότητα να μη βρεθεί κανένα ελαττωματικό σε δείγμα τεσσάρων;
β) Ποια η πιθανότητα να βρεθεί ένα ελαττωματικό σε δείγμα τεσσάρων;
γ) Ποια η πιθανότητα να βρεθεί το πολύ ένα σε δείγμα τεσσάρων;

Από πίνακες:

α) Ρ(0; 4; 0.1) = 0,656 = 65,5% 
β) Ρ(1; 4; 0.1) = 0,292 = 29,2%
γ) Ρ(<=1; 4; 0.1) = Ρ(0; 4; 0.1) + Ρ(1; 4; 0.1) = 94,7%

Η τελευταία απάντηση μας θυμίζει και την έννοια της αθροιστικής κατανομής (cumulative distribution) που είναι η πιθανότητα να έχει κάποια μεταβλητή (στατιστικό) τιμή μικρότερη από μία δεδομένη χ.

Παράδειγμα 3

Αν Χ ακολουθεί τη Β(3, ) τότε να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(X=x)=f(x) για x=0, 1, 2, 3.
Λύση
f(0)=P(X=0)=(3/0)* ()*()=
ομοίως f(1)= , f(2)= , f(3)=.

Πηγή androulakis.bma.upatras.gr