Κανονική κατανομή

Quantitative

Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή αναφερέται σε συνεχείς μεταβλητές , σε αντίθεση με την poisson και την διωνυμική που είναι ασυνεχείς κατανομές , και ως εκ τούτου αποτελεί μια συνεχή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η μαθηματική έκφραση αυτής είναι:

H κανονική κατανομή (normal distribution) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής.

  Τύπος:

όπου,
p = π=3,14
m = ο μέσος του πληθυσμού
s = τυπική απόκλιση
Χ = μια τιμή της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στο άπειρο

Κατανομή Poisson

Quantitative 

Η κατανομή πιθανότητας Poisson είναι χρήσιμη για τον προσδιορισμό της πιθανότητας του αριθμού των περιστατικών σε μια δεδομένη χρονική περίοδο ή σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Άρα, η τυχαία μεταβλητή Poisson μετράει περιστατικά σε ένα συνεχές διάστημα χρόνου. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση διωνυμικής πιθανότητας όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι μικρή (p < = 0.05) και ο αριθμός των δοκιμών μεγάλος (n > = 20).

  Τύπος: , για x=1,2,3...

όπου m είναι η αναμενόμενη τιμή της κατανομής (που συμπίπτει με τη διακύμανση) και e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου (e=2.71828...).

Αυτή η κατανομή περιγράφει φαινόμενα όπως είναι η ζήτηση ενός προιόντος σε τεμάχια, το πλήθος των τηλεφωνημέτων που φθάνουν σ'έναν κεντρικό σταθμό, το πλήθος των ατυχημάτων, το πλήθος αφίξεων 'ένα αεροδρόμιο, καθώς και το πλήθος των ελαττωμάτων που παρουσιάζονατι στην επιφάνεια ορισμένων αντικειμένων ανά μέτρο, ή τετραγωνικό μέτρο ή κυβικό μέτρο.

Γενικά, αν για μια κατανομή Poisson έχουμε κατά μέσο όρο, μ επιτυχίες στο χρονικό διάστημα (0, t), τότε στο χρονικό διάστημα (0,t₁)με t₁ < t θα έχουμε κατά μέσο όρο μ₁ = / mu * t₁ / tεπιτυχίες.
Έτσι, αν το ερώτημα αναφέρεται στο διάστημα (0,t₁) χρησιμοποιούμε την Poisson με παράμετρο μ₁
 

Στοχαστική ανέλιξη (διαδικασία) Poisson

Διωνυμική Κατανομή - μία ολοκληρωμένη θεώρηση

Η διωνυμική κατανομή (binomial distribution) είναι η πιο διαδεδομένη διακριτή κατανομή πιθανότητας.
Οι περιπτώσεις στις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί είναι δύο:

1. Κατά την εξέταση ενός δείγματος από πληθυσμό με δύο μόνο είδη μελών (π.χ. άνδρες και γυναίκες).
2. Κατά την πραγματοποίηση μιας σειράς τυχαίων πειραμάτων κάτω από τις ίδιες συνθήκες, όπου το κάθε πείραμα παρουσιάζει δύο μόνο πιθανά ενδεχόμενα. 

Αν Χ ο αριθμός των επιτυχιών σε μια ακολουθία n ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p σε όλες τις δοκιμές, τότε η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ καλείται διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και p και συμβολίζεται με B(n, p) .

Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli1, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά αποτελέσματα. Το ένα αποτέλεσμα έχει επικρατήσει να ονομάζεται επιτυχία και το άλλο αποτυχία. Το πιο «δημοφιλές» στη βιβλιογραφία παράδειγμα δοκιμής Bernoulli είναι η ρίψη ενός νομίσματος μία φορά. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι προφανώς μόνο δύο: «κεφαλή» ή «γράμματα». Αν μας ενδιαφέρει η ένδειξη «κεφαλή» χαρακτηρίζουμε επιτυχία το αποτέλεσμα «κεφαλή» και αποτυχία το αποτέλεσμα «γράμματα» ενώ αν μας ενδιαφέρει η ένδειξη «γράμματα» χαρακτηρίζουμε επιτυχία το αποτέλεσμα «γράμματα» και αποτυχία το αποτέλεσμα «κεφαλή». Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα: Μας ενδιαφέρει να διατυπώσουμε πιθανοθεωρητικά συμπεράσματα

Κανονική κατανομή

androulakis.bma.upatras.gr

Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή αναφερέται σε συνεχείς μεταβλητές , σε αντίθεση με την poisson και την διωνυμική που είναι ασυνεχείς κατανομές , και ως εκ τούτου αποτελεί μια συνεχή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η μαθηματική έκφραση αυτής είναι:
H κανονική κατανομή (normal distribution) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής.

  Τύπος:

όπου,
p = π=3,14
m = ο μέσος του πληθυσμού
s = τυπική απόκλιση
Χ = μια τιμή της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στο άπειρο

Ο απευθείας υπολογισμός πιθανοτήτων της κανονικής κατανομής είναι δύσκολος λόγω της μορφής της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Ο υπολογισμός αυτός όμως διευκολύνεται με τον ορισμό της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Η απλούστερη μορφή της κατανομής αυτής, η οποία συνήθως χρησιμοποιείται σε πρακτικές εφαρμογές με μετασχηματισμό, είναι εκείνη που αναφέρεται στην περίπτωση όπου μ=0 και σ² =1. Η κατανομή αυτή ονομάζεται τυποποιημένη κανονική κατανομή και έχει, προφανώς, την μορφή