Α. ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ
Με άλλα λόγια κατά πόσο
μία μεταβλητή αιτιάζει μία άλλη ή αιτιάζεται από αυτή ή και είναι ανεξάρτητη
από τις άλλες.
Στην οικονομική
επιστήμη μία τέτοια σχέση είναι σχεδόν αδύνατο να καθοριστεί εκ των προτέρων.
Για το λόγο αυτό στα
οικονομικά πολλές φορές θεωρούμε εκ των προτέρων δεδομένη μία συγκεκριμένη
σχέση αιτίου και αποτελέσματος προκειμένου να εφαρμόσουμε τις κλασικές
οικονομετρικές μεθόδους εκτίμησης ενός υποδείγματος.
Αν έχουμε δύο
μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ
προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν πράγματι μια
τέτοια σχέση υπάρχει, αφού η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ θεωρείται a priori (εκ
των προτέρων) δεδομένη και η εξαρτημένη μεταβλητή Υ μαζί με τις χρονικές της υστερήσεις
προσδιορίζεται από σύστημα εξισώσεων.
Η διαδικασία που
κάνουμε για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό είναι να παλινδρομήσουμε τη
μεταβλητή Υ πάνω στη Χ χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που έχουμε και να ελέγξουμε
τη στατιστική σημαντικότητα του συντελεστή Χ.
Η ύπαρξη υψηλής
συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών δεν αποτελεί σε καμία περίπτωση και
απόδειξη ότι υπάρχει μία σχέση αιτιότητας μεταξύ των μεταβλητών που μελετάμε (υψηλή
τιμή του R2).
Η παλινδρόμηση αναλύει την σχέση μεταξύ των μεταβλητών, αλλά δεν συνεπάγεται και
αιτιότητα γιατί θεωρείται δεδομένη.
Τα προβλήματα με τις
φαινομενικές (νόθες) συσχετίσεις παρουσιάζονται πολύ συχνά ακόμη και σε
δυναμικά υποδείγματα.
Οι
δυσκολίες του καθορισμού μίας σχέσης αιτιότητας μεταξύ των οικονομικών
μεταβλητών οδήγησαν τον Granger (1969) στην ανάπτυξη της οικονομικής έννοιας
της αιτιότητας γνωστής ως «αιτιότητα
κατά Granger» (Granger Causality).
Γενικά, θα λέμε ότι μία
μεταβλητή Χ αιτιάζει κατά Granger μία άλλη Υ, αν όλη η πρόσφατη και
προηγούμενη πληροφόρηση γύρω από τις τιμές της μεταβλητής αυτής βοηθούν στην
καλύτερη πρόβλεψη των τιμών της Υ.
Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό του Granger, η
μεταβλητή Χ αιτιάζει την Υ αν η πρόβλεψη της Υ για μία περίοδο στο μέλλον, που
προέκυψε με βάση όλη την προηγούμενη πληροφόρηση έχει μικρότερο μέσο σφάλμα
τετραγώνου από την πρόβλεψη του Υ που γίνεται με βάση όλη την προηγούμενη
πληροφόρηση πλην εκείνης που αφορά τη μεταβλητή Χ.
Β. Έλεγχος αιτιότητας κατά Granger
Ο πιο γνωστός έλεγχος
για την κατεύθυνση της αιτιότητας είναι αυτός που προτάθηκε από τον Granger. Ο
έλεγχος αυτός βασίζεται στο συλλογισμό ότι το μέλλον δεν μπορεί να προκαλέσει
το παρόν ή το παρελθόν. Σκοπός του ελέγχου αυτού είναι η διαπίστωση της προηγήσεως
(precedence),
δηλαδή προσπαθεί να διαπιστώσει αυτό που δεν μπορεί να πετύχει μια παλινδρόμηση. Την διαπίστωση ότι οι μεταβολές
της εξαρτημένης μεταβλητής Υ προηγούνται,
έπονται ή είναι συγχρονισμένες μα τις μεταβολές της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ.
Σε υποδείγματα της
οικονομετρίας η σχέση αιτίας – αιτιατού (αιτιότητα) είναι δεδομένη εκ των
προτέρων (a priori).
Πως γίνεται ο έλεγχος αυτός;
Ο έλεγχος για τη
διαπίστωση της αιτιότητας κατά Granger είναι ο ακόλουθος:
Έστω ότι έχουμε δύο
χρονικές σειρές Yt και Xt και τα παρακάτω
υποδείγματα:
Yt=μ0+ΣαiΥt-i+ΣβiΧt-i+ut
Xt=φ0+ΣγiΥt-i+ΣδiΧt-i+et
όπου
m
είναι το μέγεθος των χρονικών υστερήσεων.
Στο
πρώτο υπόδειγμα υποθέτουμε ότι οι τρέχουσες τιμές της
μεταβλητής Υ είναι συνάρτηση των τιμών της σε προηγούμενες περιόδους, καθώς και
των προηγούμενων περιόδων των τιμών της μεταβλητής Χ.
Στο
δεύτερο υπόδειγμα υποθέτουμε ότι οι τρέχουσες τιμές της
μεταβλητής Χ είναι συνάρτηση των τιμών με τις προηγούμενες τιμές της μεταβλητής
Υ και με τις προηγούμενες τιμές της ίδιας μεταβλητής.
Υποθέτουμε επίσης ότι
οι διαταρακτικοί όροι ut
και et στα δύο παραπάνω
υποδείγματα δεν συσχετίζονται.
Με βάση τα δύο παραπάνω
υποδείγματα μπορούμε να έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
·
Αν οι συντελεστές βi των μεταβλητών Χt-i στην πρώτη συνάρτηση είναι στατιστικά
σημαντικοί (διάφοροι του μηδέν), ενώ οι συντελεστές γi των μεταβλητών Υt-i
στη δεύτερη συνάρτηση δεν είναι στατιστικά σημαντικοί (ίσοι του μηδέν),
τότε υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από τη μεταβλητή Χ προς τη μεταβλητή
Υ.
Δηλαδή,
αν {β1,β2,..........βκ}≠0 και {γ1,γ2,........γκ}=0
τότε υπάρχει μονόδρομη σχέση αιτιότητας από τη μεταβλητή Χ στην μεταβλητή Υ
(Χ→Υ).
·
Αν οι συντελεστές βi των μεταβλητών Χt-i
στην πρώτη συνάρτηση δεν είναι στατιστικά σημαντικοί (ίσοι του μηδέν),
ενώ οι συντελεστές γi
των μεταβλητών Υt-i στη
δεύτερη συνάρτηση είναι στατιστικά σημαντικοί (διάφοροι του μηδέν), τότε
υπάρχει μονόδρομη σχέση αιτιότητα κατά Granger από τη μεταβλητή Υ προς τη
μεταβλητή Χ.
Δηλαδή,
αν {β1,β2,..........βκ}=0 και {γ1,γ2,........γκ}≠0
τότε υπάρχει μονόδρομη σχέση αιτιότητας από τη μεταβλητή Υ στην μεταβλητή Χ
(Υ→Χ).
·
Αν οι συντελεστές βi των μεταβλητών Χt-i
στην πρώτη συνάρτηση και γi
των μεταβλητών Υt-i στη
δεύτερη συνάρτηση είναι στατιστικά σημαντικοί (διάφοροι του μηδέν), τότε
υπάρχει αιτιότητα κατά Granger και προς τις δύο κατευθύνσεις.
Δηλαδή,
αν {β1,β2,..........βκ}≠0 και {γ1,γ2,........γκ}≠0
τότε υπάρχει αμφίδρομη σχέση αιτιότητας (Υ↔Χ).
·
Αν οι συντελεστές βi των μεταβλητών Χt-i
στην πρώτη συνάρτηση και γi
των μεταβλητών Υt-i στη
δεύτερη συνάρτηση δεν είναι στατιστικά σημαντικοί (ίσοι του μηδέν), τότε
δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger.
Δηλαδή,
αν {β1,β2,..........βκ}=0 και {γ1,γ2,........γκ}=0
τότε δεν υπάρχει σχέση αιτιότητας, με άλλα λόγια οι μεταβλητές Χ και Υ είναι
ανεξάρτητες.
Οι
υποθέσεις αιτιότητας που διαμορφώνονται είναι οι παρακάτω:
·
Η0:
Η μεταβλητή Χ δεν προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Υ
·
Η1:
Η μεταβλητή Χ προκαλεί κατά Granger (αιτιάται) της Υ
ή
·
Η0:
{β1,β2,..........βκ}=0 (Η μεταβλητή Χ δεν
προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Υ)
·
Η1:
{β1,β2,..........βκ}≠0 (Η μεταβλητή Χ
προκαλεί κατά Granger (αιτιάται) της Υ).
και
·
Η0:
Η μεταβλητή Υ δεν προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Χ
·
Η1:
Η μεταβλητή Υ προκαλεί κατά Granger (αιτιάται) της Χ
ή
·
Η0:
{γ1,γ2,........γκ}=0 (Η μεταβλητή Υ δεν
προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Χ)
·
Η1:
{γ1,γ2,........γκ}≠0 (Η μεταβλητή Υ
προκαλεί κατά Granger (αιτιάται) της Χ).
Στην πράξη, οι έλεγχοι
για την ύπαρξη αιτιότητας γίνονται με τη χρήση των υποδειγμάτων VAR.
Δηλαδή, για να αιτιάζει
μία μεταβλητή Χ μία άλλη Υ θα πρέπει οι συντελεστές όλων των χρονικών
υστερήσεων της Χ στην εξίσωση της Υ να διαφέρουν στατιστικά σημαντικά από το
μηδέν, ενώ οι συντελεστές των χρονικών υστερήσεων της Υ στην εξίσωση της Χ να
μη διαφέρουν σημαντικά από το μηδέν.
Το χαρακτηριστικό της
αιτιότητας κατά Granger είναι ότι υστερήσεις μιας μεταβλητής μπορούν να
χρησιμοποιηθούν για να προβλέψουν μια μεταβλητή όταν μεταξύ αυτών φυσικά έχει
ταυτοποιηθεί σχέση αιτιότητας.
Το μειονέκτημα αυτού του
ορισμού είναι ότι δεν λαμβάνει υπόψη μη-γραμμικές αιτιώδεις σχέσεις.
Ο Έλεγχος της Αιτιότητας κατά Granger
Ο έλεγχος αυτός μπορεί
να γίνει με το κριτήριο της κατανομής F του Wald (1940) για την από κοινού
σημαντικότητα των παραμέτρων των χρονικών υστερήσεων των αντίστοιχων μεταβλητών
και δίνεται από τον παρακάτω τύπο:
όπου
SSRR είναι
το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων που προκύπτουν από την εκτίμηση της
εξίσωσης με περιορισμό (δηλαδή παλινδρομώντας τη μεταβλητή Χ μόνον πάνω στις
υστερήσεις της).
SSRU
είναι
το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων που προκύπτουν από την εκτίμηση της εξίσωσης
παλινδρόμησης (πλήρη εξίσωση).
k είναι
ο αριθμός των περιορισμών.
n είναι
το μέγεθος του δείγματος.
Αν
η τιμή της κατανομής F είναι
μεγαλύτερη από αυτή των πινάκων (Fπιν) σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας,
τότε λέμε ότι η υπόθεση Η0
απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι οι υστερήσεις της μεταβλητής Χ επηρεάζουν
σημαντικά τη συμπεριφορά της Υ.
Στη συνέχεια για να
συμπεράνουμε ότι η Χ αιτιάζει την Υ μονόδρομα θα πρέπει να ελέγξουμε την
αντίστοιχη υπόθεση για τις υστερήσεις της Υ πάνω στη μεταβλητή Χ συγκεκριμένα
έχουμε:
·
Αν F
< Fπιν δεχόμαστε την υπόθεση Η0 δηλαδή η μεταβλητή
Χ δεν προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Υ για την πρώτη συνάρτηση ή η
μεταβλητή Υ δεν προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Χ για τη δεύτερη
συνάρτηση.
·
Αν F
> Fπιν δεχόμαστε την υπόθεση Η1 δηλαδή η
μεταβλητή Χ προκαλεί κατά Granger (αιτιάται) της Υ για τη πρώτη συνάρτηση
ή η μεταβλητή Υ προκαλεί κατά Granger (αιτιάται) της Χ για τη δεύτερη
συνάρτηση.
Έλεγχος Sims
Σύμφωνα με τον έλεγχο
αυτό, το υπόδειγμα περιλαμβάνει και τις τιμές προήγησης στι υπόδειγμα:
Yt=
ΣαiΥt-i+ΣβiΧt-i+ ΣλiΥt+i +ut
Αν γίνει αποδεκτό ότι
το μέλλον δε προκαλεί το παρόν ή το παρελθόν τότε για να υπάρχει αιτιότητα κατά Granger
από
τη Χ στην Υ, θα πρέπει να υπάρχει σχέση ανάμεσα στην Χ και την Υ με προήγηση. Άρα
θα πρέπει οι συντελεστές λi να είναι
διάφοροι του μηδενός (λi#0).
Δηλώνουμε ως μηδενική
υπόθεση, κατά Sims,
ότι Η0:λi=0.
Αν απορριφθεί σημαίνει αιτιότητα κατά Granger
από
την Χ στην Υ.
Ο έλεγχος γίνεται με
την στατιστική F.
Παράδειγμα 1
Ο
παρακάτω Πϊνακας παρουσιάζει την σχέση αλληλεπίδρασης μεταξύ των μεταβλητών eur (Euribor) και lib (Libor), για το έτος 2005.
Pairwise
Granger Causality Tests
|
|||
Date:
09/28/09 Time: 15:19
|
|||
Sample:
1/02/2007 12/31/2007
|
|||
Lags:
2
|
|||
Null
Hypothesis:
|
Obs
|
F-Statistic
|
Prob.
|
LIB does not Granger Cause EUR
|
242
|
0.16366
|
0.8491
|
EUR does not Granger Cause LIB
|
4.04359
|
0.0188
|
|
Θα αναλύσουμε την αιτιότητα κατά Granger.
Απάντηση
Από τα αποτελέσματα
βλέπουμε ότι δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση ότι η lib
δεν
προκαλεί αιτιότητα της eur (F=0,16),
αλλά απορρίπτουμε την υπόθεση ότι η eur δε
προκαλεί αιτιότητα στη lib
(F=4,04).
Άρα συμπεραίνουμε ότι η
αιτιότητα είναι μονόπλευρη.
Παράδειγμα 2
Οι δύο παρακάτω πίνακες συνοπτικά παρουσιάζουν τη σχέση
αλληλεπίδρασης μεταξύ των αποδόσεων δύο χρηματιστηριακών δεικτών, του FTSE 100
(DLUK) και του SP500 (DLUS). Τα δεδομένα είναι ημερήσια και αφορούν στην
περίοδο 02/01/1998-23/01/2015. Ο πρώτος πίνακας παρουσιάζει τα αποτελέσματα
ελέγχου αιτιότητας κατά Granger και ο δεύτερος πίνακας παρουσιάζει τα
αποτελέσματα εκτίμησης ενός VAR μοντέλου.
Πίνακας 1
Pairwise Granger
Causality Tests
|
|||
Lags: 1
|
|||
Null
Hypothesis:
|
Obs
|
F-Statistic
|
Prob.
|
DLUS does not Granger Cause DLUK
|
4451
|
575.613
|
1E-119
|
DLUK does not Granger Cause DLUS
|
1.66230
|
0.1974
|
|
Πίνακας 2
Vector
Autoregression Estimates
|
||
Included
observations: 4451 after adjustments
|
||
Standard errors in ( ) & t-statistics in [
]
|
||
DLUK
|
DLUS
|
|
DLUK(-1)
|
-0.232788
|
0.023107
|
(0.01648)
|
(0.01796)
|
|
[-14.1242]
|
[ 1.28674]
|
|
DLUS(-1)
|
0.384741
|
-0.087555
|
(0.01603)
|
(0.01747)
|
|
[ 23.9969]
|
[-5.01208]
|
|
A) Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα του ελέγχου αιτιότητας κατά
Granger (Πίνακας 1).
Β) Να σχολιάσετε την οικονομική σημασία των αποτελεσμάτων του
Πίνακα 2. Επιβεβαιώνονται από τα αποτελέσματα του Πίνακα 1;
Γ) Εξηγήστε την έννοια της ανάλυσης αιτιότητας κατά Granger σε
αντιδιαστολή με την έννοια της απλής παλινδρόμησης.
Απάντηση
Α) Όπως δείχνει η στατιστική σημαντικότητα μόνο της πρώτης F στατιστικής, το αμερικάνικο χρηματιστήριο αιτιάζει το βρετανικό και όχι το αντίστροφο.
Β) Τα αποτελέσματα των δυο πινάκων ως προς την αιτιότητα μεταξύ του αμερικάνικου και βρετανικού χρηματιστηρίου συνάδουν. Πιο συγκεκριμένα η στατιστική σημαντικότητα του συντελεστή b11=0.38 στον πίνακα 2 επιβεβαιώνει την επίδραση της αμερικάνικης αγοράς στη βρετανική με πρόσημο μάλιστα θετικό. Η σχέση αυτή είναι μονόπλευρη όπως φαίνεται εξάλλου από τον πίνακα 1.
Γ) Η διαπίστωση της προηγήσεως (precedence) είναι ο σκοπός της αιτιότητας κατά Granger (Granger causality). Ο προσδιορισμός των υστερήσεων του κατάλληλου VAR μοντέλου αποτελεί το πρώτο στάδιο του τεστ αιτιότητας. Στη συνέχεια η βέλτιστη υστέρηση χρησιμοποιείται για την πραγματοποίηση του τεστ. Το αποτέλεσμα για μονόπλευρη ή δίπλευρη αιτιότητα πρέπει να επιβεβαιώνεται από την εύρεση αντίστοιχων στατιστικά σημαντικών συντελεστών στο VAR μοντέλο το οποίο χρησιμοποιείται για τη διαπίστωση της προβλεπτικής σημασίας που έχουν οι παρελθούσες τιμές μιας μεταβλητής στην κίνηση της δεύτερης. Η επιπλέον πληροφόρηση που παρέχει η μοντελοποίηση VAR είναι η κατεύθυνση της προκύπτουσας σχέσης με τη βοήθεια του πρόσημου των αντίστοιχων συντελεστών.
Παράδειγμα 3
Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα ελέγχου αιτιότητας κατά Granger μεταξύ των μεταβλητών DLM=ποσότητα χρήματος, DLCPI=πληθωρισμός, και DLFUEL=πετρέλαιο.
Pairwise
Granger Causality Tests
|
|||
Sample: 1 511
|
|||
Null Hypothesis:
|
Obs
|
F-Statistic
|
Probability
|
DLM does not Granger Cause DLCPI
|
508
|
4.28234
|
0.01031
|
DLCPI does not Granger Cause DLM
|
0.36685
|
0.69310
|
|
DLFUEL does not Granger Cause DLCPI
|
508
|
5.16931
|
0.00599
|
DLCPI does not Granger Cause DLFUEL
|
12.7893
|
0.0000038
|
|
DLFUEL does not Granger Cause DLM
|
508
|
3.78099
|
0.02345
|
DLM does not Granger Cause DLFUEL
|
6.51576
|
0.00161
|
|
Με βάση τα αποτελέσματα απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα:
Α) Ποιές σχέσεις αναδεικνύονται μεταξύ των τριών μεταβλητών λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές της F στατιστικής και της αντίστοιχης πιθανότητας;
Β) Ποιες από τις αναδυόμενες σχέσεις αιτιότητας δίνουν πληροφορία για το είδος του πληθωρισμού που αντιμετωπίζει η συγκεκριμένη οικονομία; Εμπλουτίστε την απάντηση σας με την αντίστοιχη οικονομική ερμηνεία.
Απάντηση
Α)
Από τη στατιστική
σημαντικότητα της στατιστικής F προκύπτουν οι κάτωθι σχέσεις:
DLM ----->DLCPI
(μονόπλευρη αιτιότητα)
DLFUEL<--->DLCPI
(αμφίπλευρη αιτιότητα)
DLFUEL<->DLM
(αμφίπλευρη αιτιότητα)
Β)
Στη βάση των αποτελεσμάτων
φαίνεται ότι επιβεβαιώνεται η θεωρία περί πληθωρισμού ζήτησης (DLM ---> DLCPI)
αλλά και πληθωρισμού κόστους (DLFUEL -----> DLCPI).
Παράδειγμα 4
Οι
δύο παρακάτω πίνακες συνοπτικά παρουσιάζουν τη σχέση αλληλεπίδρασης μεταξύ των
αποδόσεων δύο χρηματιστηριακών δεικτών, του FTSE 100 (Χρηματιστήριο Λονδίνου)
και του DAX (Χρηματιστήριο Φρανκφούρτης). Τα δεδομένα είναι ημερήσια και
αφορούν την περίοδο από τον Οκτώβριο του 2011 έως τον Οκτώβριο του 2012. Ο
πρώτος πίνακας παρουσιάζει τα αποτελέσματα ελέγχου αιτιότητας κατά Granger και
ο δεύτερος πίνακας παρουσιάζει τα αποτελέσματα εκτίμησης αυτοπαλίνδρομων
διανυσμάτων.
Πίνακας 1
Έλεγχος Αιτιότητας
Granger
|
|||
Χρονική υστέρηση: 1
|
|||
Μηδενική υπόθεση
|
Παρατηρήσεις
|
Στατιστική F
|
Πιθανότητα
|
Οι μεταβολές του FTSE100 δεν
προκαλούν τις μεταβολές του DAX
|
252
|
24,468
|
3,4x10-8
|
Oι μεταβολές του DAX δεν
προκαλεί τις μεταβολές του FTSE100
|
43,973
|
2,9x10-9
|
Πίνακας 2
Εκτίμηση αυτοπαλίνδρομων διανυσμάτων
|
|||
252 Παρατηρήσεις
|
|||
Τυπικά σφάλματα σε αγκύλες
|
|||
FTSE100
|
DAX
|
||
FTSE100(-1)
|
0,02
|
0,04
|
|
[4,578]
|
[3,698]
|
||
DAX(-1)
|
0,027
|
0,015
|
|
[8,763]
|
[6,531]
|
||
R2 προσαρμοσμένο
|
0,06
|
0,07
|
|
F- στατιστική
|
57,897
|
52,314
|
α) Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα του ελέγχου αιτιότητας κατά Granger.
β) Να γράψετε σε μορφή μαθηματική τα αποτελέσματα της εκτίμησης
των αυτοπαλίνδρομων διανυσμάτων. Να σχολιάσετε –από χρηματοοικονομική άποψη- τα
αποτελέσματα αυτού του πίνακα.
Απάντηση
α) Υπάρχει αμφίπλευρη σχέση αιτιότητας κατά Granger, καθώς η τιμή της
αξίας p είναι κατά πολύ μικρότερη από ένα (συμβατικό) όριο πιθανότητας 5%.
β) FTSE100= 0,02 x FTSE100(-1) + 0,027 x DAX(-1)
DAX= 0,04 x FTSE(-1) + 0,015 x DAX(-1)
Παράδειγμα 5
Αφού
μελετήσετε τα αποτελέσματα των δύο ακόλουθων πινάκων να:
Α)
Σχολιάσετε τα αποτελέσματα του ελέγχου αιτιότητας Granger (Granger
Causality Test) που δίνονται στον πίνακα 1. Σημειώστε ότι DLTB3M είναι οι
αποδόσεις των 3-μηνιαίων ομολογιών ενώ DLEFFR1
είναι ο αποδόσεις του βραχυπροθέσμου επιτοκίου της Federal Reserve.
Β)
Γράψετε την μαθηματική μορφή του μοντέλου στον πίνακα 2 λαμβάνοντας υπόψη τις
εκτιμήσεις των συντελεστών του.
Γ)
Αποφανθείτε αν εμφανίζεται μια lead-lag σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Αν ναι,
ποια είναι η οικονομική της ερμηνεία;
Πίνακας 1
Pairwise Granger Causality Tests
|
|||
Date: 10/11/10 Time: 18:08
|
|||
Sample: 1 300
|
|||
Lags: 1
|
|||
Null Hypothesis:
|
Obs
|
F-Statistic
|
Probability
|
DLTB3M
does not Granger Cause DLEFFR1
|
298
|
53.4554
|
2.5E-12
|
DLEFFR1
does not Granger Cause DLTB3M
|
5.70584
|
0.01754
|
|
Πίνακας 2
Vector Autoregression
Estimates
|
||
Date: 10/11/10 Time: 18:07
|
||
Sample (adjusted): 3 300
|
||
Included observations: 298
after adjustments
|
||
Standard
errors in ( ) & t-statistics in [ ]
|
||
DLEFFR1
|
DLTB3M
|
|
DLEFFR1(-1)
|
0.142191
|
0.192372
|
(0.06845)
|
(0.07989)
|
|
[
2.07724]
|
[
2.40800]
|
|
DLTB3M(-1)
|
0.477088
|
0.341484
|
(0.06507)
|
(0.07594)
|
|
[
7.33192]
|
[
4.49667]
|
|
R-squared
|
0.382194
|
0.243242
|
Adj. R-squared
|
0.380107
|
0.240685
|
Sum sq. resids
|
0.511677
|
0.696937
|
S.E. equation
|
0.041577
|
0.048523
|
F-statistic
|
183.1147
|
95.14202
|
Log likelihood
|
525.8624
|
479.8211
|
Akaike AIC
|
-3.515855
|
-3.206853
|
Schwarz SC
|
-3.491043
|
-3.182041
|
Mean dependent
|
-0.003480
|
-0.003542
|
S.D. dependent
|
0.052807
|
0.055685
|
Determinant
resid covariance (dof adj.)
|
2.37E-06
|
|
Determinant resid covariance
|
2.33E-06
|
|
Log likelihood
|
1086.546
|
|
Akaike information criterion
|
-7.265410
|
|
Schwarz criterion
|
-7.215784
|
|
Απάντηση
Α) Για τον έλεγχο αιτιότητας Granger θα υποθέσουμε
ότι έχουμε τα ακόλουθα υποδείγματα δύο χρονολογικών σειρών Yκαι X
Xt=ΣγiΥt-i+ΣδiΧt-i+et
Ο έλεγχος που θα γίνει είναι:
Η0: {β1,β2,....β} = 0 και {γ1,γ2,....γ} = 0
Η1: {β1,β2,....β} ≠ 0 και {γ1,γ2,....γ} ≠ 0
οπού αν F-stat(β) > F πίνακα(β) και F-stat(γ)
> F πίνακα(γ) , απορρίπτουμε την Η0
Επειδή
53,4554 > 2,5e-12 και
5,70584 > 0,01754 απορρίπτουμε την Η0 δηλαδή οι συντελεστές βi
και γi είναι στατιστικά σημαντικοί. Αυτό σημαίνει πως υπάρχει
αιτιότητα Granger και προς τις δύο κατευθύνσεις, δηλαδή υπάρχει αμφίδρομη σχέση
αιτιότητας μεταξύ των αποδόσεων του βραχυπρόθεσμου επιτοκίου της Federal Reserve
και των αποδόσεων των τριμηνιαίων ομολογιών ( Υ Χ).
Β)
Πρόκειται για υπόδειγμα 2Χ2 όπου:
Υ1t
= a11Y1,t-1 + a12Y2,t-1 +e1t όπου Υ1 δείχνει τις
αποδόσεις του βραχυπρόθεσμου επιτοκίου της Federal Reserve
Υ2t = a21Y1,t-1 + a22Y2,t-1
+e2t όπου Υ2 δείχνει
τις αποδόσεις των τριμηνιαίων ομολογιών
a11 = 0,142191 a21 = 0,192372 a12 = 0,477088 a22 = 0,341484
Το
μαθηματικό μοντέλο είναι της μορφής:
Yt = Â Yt-1 +Ê
t
a11 a21 0,142191 0,192372
Οπότε: Â = =
a12 a22
0,477088 0,341484
Γ)
Από τον πίνακα 2 βλέπουμε πως τα t-test για τις δύο μεταβλητές (DLTB3M και DLEFFR1)
ως προς τις χρονικές υστερήσεις τους (DLTB3M(-1) και DLEFFR1(-1)) είναι
αντίστοιχα: 2,07724 ,
2,40800 , 7,33192
, 4,49667
Επειδή
ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι
πάνω από 20 (= 298) και το ǀtǀ > 2, για επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05 (κανόνας 2-t), μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική
υπόθεση, δηλαδή οι συντελεστές του αυτοπαλίνδρομου διανύσματος VAR είναι
στατιστικά σημαντικοί. Συνεπώς εμφανίζεται μια σχέση lead-lag μεταξύ των
συντελεστών. Συγκεκριμένα, ο συντελεστής
που ορίζει την επίδραση του DLEFFR1 στον DLTB3M είναι θετικός (= 0,192372).
Επίσης ο συντελεστής που ορίζει την επίδραση του DLTB3M στον DLEFFR1 είναι
θετικός (=0,477088) και μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Το θετικό πρόσημο των
συντελεστών δηλώνει ότι μια αύξηση στον DLTB3M θα προκαλέσει μια γραμμικού
χαρακτήρα αύξηση στον DLEFFR1 και αντίστροφα. Το γεγονός ότι ο δεύτερος
συντελεστής που αφορά την επίδραση του του DLTB3M στον DLEFFR1 είναι μεγαλύτερος
από τον πρώτο σημαίνει ότι ο DLTB3M, δηλαδή οι αποδόσεις των τριμηνιαίων
ομολογιών αποτελούν πιό σημαντική πληροφορία για τους επενδυτές που θέλουν να
επενδύσουν στο βραχυπρόθεσμο επιτόκιο της Federal Reserve, από την πληροφορία
των αποδόσεων του βραχυπρόθεσμου επιτοκίου της Federal Reserve για τους
επενδυτές που θέλουν να επενδύσουν στις τριμηνιαίες ομολογίες.
Ο
σκοπός της ανάλυσης αιτιότητας κατά Granger
είναι η έννοια της προηγήσεως. Το χαρακτηριστικό της αιτιότητας κατά Granger
είναι ότι υστερήσεις μιας μεταβλητής χρησιμοποιούνται για να προβλέψουν μια
μεταβλητή όταν μεταξύ αυτών έχει ταυτοποιηθεί μια σχέση αιτιότητας. Το
μειονέκτημα αυτού του ορισμού είναι ότι δεν λαμβάνει υπόψη μη γραμμικές σχέσεις
αιτιότητας. Η ανάλυση μιας σχέσης μεταξύ των μεταβλητών δε συνεπάγεται και
αιτιότητα γιατί θεωρείται δεδομένη.
Οι σύγχρονες προσεγγίσεις που έχουν αναπτυχθεί,
λαμβάνουν επίσης υπόψη τη μη γραμμική εξάρτηση. Έτσι, η μη γραμμική αιτιότητα
έχει μεγάλη σημασία στους ασκούντες την οικονομική πολιτική αφού δεν υπάρχει
ένα συγκεκριμένο οικονομικό αποτέλεσμα
Η
αιτιότητα στη περίπτωση μας είναι αμφίδρομη και άρα υπάρχει αμφίδρομη lead-lag
σχέση επίδρασης της μιας μεταβλητής στην άλλη.
Gια την οικονομική ερμηνεία ότι δεν συμβαίνει το
αναμενόμενο. Έπρεπε να υπάρχει μόνο επίδραση των επιτοκίων στις ομολογίες. Το
3-μηνιαίο επιτόκιο επηρεάζεται από τις μεταβολές του επιτοκίου της Federal Bank.
Χρήσιμες σημειώσεις για τον έλεγχο των υποθέσεων
1. Κανόνας «2-t»
Για τον έλεγχο των
υποθέσεων και εφόσον ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι μεγαλύτερος του 20 και
αν το επίπεδο σημαντικότητας είναι α=0,05, τότε η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται,
αν |t|>2.
2. Υπολογίζουμε την P-Τιμή (P-Value) του δείγματος
Όσο πιο μικρή είναι η P-Τιμή τόσο ισχυρότερες ενδείξεις εναντίον της H0
προκύπτουν από ένα συγκεκριμένο τυχαίο
δείγμα ή αλλιώς τόσο πιο σημαντική είναι η τιμή της στατιστικής
συνάρτησης ελέγχου που
δίνει το δείγμα.
Υπολογίζοντας
την P-Τιμή, μπορούμε άμεσα να την συγκρίνουμε με οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας
α και με αυτό τον τρόπο να αποφασίσουμε για την απόρριψη ή όχι
της H0 .
Ο κανόνας απόφασης διαμορφώνεται πλέον
ως εξής:
·
αν
α ≥ P-Τιμή , τότε, σε επίπεδο σημαντικότητας α , η H0 απορρίπτεται.
·
αν
α < P-Τιμή, τότε, σε επίπεδο σημαντικότηταςα , η H0 δεν απορρίπτεται.
Επιμέλεια
Σημειώσεων: Πέτρος Αρβανίτης
Πηγές:
- Granger C.W.J. (1969), Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods, Econometrica, Vol. 37, No 3, (Aug. 1969), pp. 424-438.
- Πανεπιστήμιο Μακεδονίας.
- Παπαδόπουλος Γ., «Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων», Πανεπιστημιακές Σημειώσεις, Εργαστήριο Μαθηματικών και Στατιστικής, Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
- Συριόπουλος Κ., Φίλιππας Δ. (2010), Οικονομετρικά Υποδείγματα & Εφαρμογές με το Eviews, Εκδόσεις Ανίκουλα, Θες/κη.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου