Αποικία του Χρέους: Ισοδυναμία ελέγχων υποθέσεων και διαστημάτων εμπιστοσύνης

Παρασκευή 24 Απριλίου 2015

Ισοδυναμία ελέγχων υποθέσεων και διαστημάτων εμπιστοσύνης

Quantitative

Οι έλεγχοι υποθέσεων συνδέονται στενά με τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Γενικά, όταν δίνεται ένας στατιστικός έλεγχος επιπέδου σημαντικότητας α, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σιάστημα εμπιστοσύνης 1-α που να συγκεντρώνει όλες τις μηδενικές υποθέσεις που δεν απορρίπτονται από τον έλεγχο.

Έστω έλεγχος με μηδενική υπόθεση

H 0

: μ=

μ 0

έναντι της εναλλακτικής

H 1

: μ $\neq$

μ 0

για κανονικό πληθυσμό, γνωστής διακύμανσης σ και με επίπεδο σημαντικότητας α. Η

H 0

γίνεται αποδεκτή όταν βρίσκεται στο σιάστημα εμπιστοσύνης:

$\Rightarrow$ - $z_{\alpha/2}\leq\frac{\sqrt{n}\times(x_{\mu}-\mathit{{\mu}}_{0})}{\sigma}\leq{z_{\alpha/2}}$

Δείκτης αξιολόγησης της διαφοράς $\widehat \theta - \theta_0$

Έστω ότι το αντικείμενο ελέγχου είναι η τιμή της παραμέτρου θ. Η τιμή της στον πληθυσμό μηδέν είανι γνωστή είτε εξ υποθέσεως είτε κατόπιν εκτήμησης. Η τιμή αυτή, έστω

θ 0

, δεν μπορεί να παραλειφθεί με την τιμή της θ στον πληθυσμό σύγκρισης διότι στον πληθυσμό η θ είναι άγνωστη. Η σύγκριση αναγκαστικά θα γίνει με μια εκτίμηση $\widehat \theta$ της θ που θα προκύψει από τυχαίο δείγμα του πληθυσμού σύγκρισης. Έτσι το πρόβλημά μας ανάγεται στην σύγκριση της

θ 0

προς την $\widehat \theta$ . Αν η $\widehat \theta$ είναι πολύ κοντά στην

θ 0

, τότε μπορεί να λεχθεί ότι και στους δύο πληθυσμούς η παράμετρος θ έχει την ίδια τιμή. Ενδεχόμενες μικροδιαφορές μπορούν να αποδοθούν σε τυχαίους παράγοντες.

Αντίθετα, αν η $\widehat \theta$ βρίσκεται μακράν της

θ 0

τότε και οι δύο πληθυσμοί διαφέρουν. Έτσι το πρόβλημα μετασχηματίζεται σε πρόβλημα ελέγχου της διαφοράς $\widehat \theta - \theta_0$ . Επειδή δεν ξέρουμε προς τα ποια κατεύθυνση αναμένεται να είναι η διαφορά, διατυπώνουμε το πρόβλημα:

ελεγχόμενη υπόθεση: $H_0: \widehat \theta - \theta_0 = 0$
εναλλακτική υπόθεση: $H_1: \widehat \theta - \theta_0 \neq 0$

Θα πρέπει να κρίνουμε αν η διαφορά $\widehat \theta - \theta_0$ είναι η όχι σημαντική. Το καλύτερο μέτρο είναι η τυπική απόκλιση του $\widehat \theta$ . Έχει μέσο $E(\widehat \theta)$ και τυπική απόκλιση $\sigma_{\widehat \theta}$ Η σπουδαιότητα της διαφοράς $\widehat \theta - \theta_0$ αξιολογείται με όρους της τυπικής απόκλισης της $\widehat \theta$ ,

άρα

$\delta= (\widehat \theta - \theta_0) / \sigma_{\widehat \theta}$ (1)

Με άλλα λόγια το δ είναι δείκτης της διαφοράς $\widehat \theta - \theta_0$ σε όρους του μέτρου σύγκρισης, που είναι η τυπική απόκλιση $\sigma_{\widehat \theta}$ . Έστω ότι $\widehat \theta - \theta_0 = 4$ και $\sigma^2_{\widehat \theta} = 64$ Η διαφορά 4 μονάδων μόνη της δεν σημαίνει τίποτα. Σε όρους τυπικής απόκλισης αυτή γίνεται δ=0,5. Αν όμων ήταν $\sigma^2_{\widehat \theta} = 16$ , ή ίδια διαφορά δίνει τιμή για το δ ίση με τη μονάδα, ήτοοι δ=1. Στην πρώτη περίπτωση η διαφορά αντιστοιχεί στο 1/2 μιας τυπικής απόκλισης, ενώ στη δεύτερη η ιδια διαφορά αντιστοιχεί σε μια μονάδα τυπικής απόκλισης.

Από την (1) παίρνουμε

$\widehat \theta = \theta_0 + \delta \sigma_{\widehat \theta}$ , αν η διαφορά είναι θετική και

$\widehat \theta = \theta_0 - \delta \sigma_{\widehat \theta}$ , αν η διαφορά είναι αρνητική.

'Ετσι αν θεωρήσουμε οτι γίνονται αποδεκτές οι τιμές του $\widehat \theta \leq \theta_0 + \delta \sigma_{\widehat \theta}$ και $\widehat \theta \geq \theta_0 - \delta \sigma_{\widehat \theta}$ τότε διαμορφώνεται το διάστημα