Δεσμευμένες πιθανότητες

Quantitative

Δεσμευμένες πιθανότητες

Συχνά παρουσιάζει ενδιαφέρον πως ορισμένα ενδεχόμενα σχετίζονται με άλλα. Ειδικότερα μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την πιθανότητα όπως, συμβεί ένα ενδεχόμενο όταν γνωρίζουμε οτι συμβαίνει κάποιο άλλο. Σε αυτή την περίπτωση θα μιλάμε για τη δεσμευμένη πιθανότητα του ενδεχομένου, όταν δίνεται οτι συμβαίνει το άλλο. Η ανάγκη εισαγωγής της δεσμευμένης πιθανότητας οφείλεται στις περιπτώσεις όπου μία μερική γνώση ως προς την έκβαση ενός τυχαίου (στοχαστικού) πειράματος μειώνει την αβεβαιότητα συρρικνώνοντας το δειγματικό χώρο. Έτσι αν Α και Β δύο ενδεχόμενα, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του Α όταν δίνεται οτι συμβαίνει το Β, ορίζεται απο την

, όπου 

Η σχέση αυτή μας λέει ότι εφόσον γνωρίζουμε ότι έχει ήδη εμφανιστεί το ενδεχόμενο Β , ο δειγματικος χώρος έχει πλέον έχει πλέον περιοριστεί στα στοιχειώδη ενδεχόμενα που περιλαμβάνει το Β.

Παράδειγμα 1

     Ποια η πιθανότητα να τραβήξουμε ένα χαρτί φιγούρα , γνωρίζοντας ότι υπάρχουν μόνο κούπες;

Φιγούρες που να είναι ταυτόχρονα και κούπες είναι 3

Κούπες σε όλη την τράπουλα 13

Αρα:=3/13

Παράδειγμα 2

Μας δίνονται οι εξής τιμές για τους εν λόγω καπνιστές και μη καπνιστές.

                     Με προβλήματα υγείας      Χωρίς προβλήματα   Σύνολο

-- Καπνιστές

                             10                20             30

-- Μη καπνιστές

                              5                15                   20

                              15        35             50

Α: προβλήματα υγείας

Β: ενδεχόμενο να είναι καπνιστής

= 10/30

=10/50=0,2

P(B)=30/50=0,6

Ανεξάρτητα ενδεχόμενα:

                  P(A|B)= P(A)
                  P(B|A)= P(B)

Κανόνες δεσμευμένης πιθανότητας:  άρα 

Αν τα ενδεχόμενα Α και D είναι στατιστικά ανεξάρτητα:

           P(A|D)=P(A)
           P(D|A)=P(D)

άρα

           P(AD) = P(A)P(D)

Ιδιότητες της δεσμευμένης πιθανότητας

Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας και τα είδη των ενδεχομένων προκύπτουν οι ιδιότητες:

1) 

2) αν 

3) P(A' / B) = 1 − P(A / B)

4) 

5) αν Β1, Β2, .... Βv ασυμβίβαστα ενδεχόμενα τότε: 

[επεξεργασία]

Άσκηση 1

Σε τρεις ρίψεις νομίσματος βγήκε δύο φορές “Γράμματα”. Βρείτε την δεσμευμένη πιθανόητητα να βγήκε στην δεύτερη ρίψη “Γράμματα”.

Λύση: Έστω Α το ενδεχόμενο «δύο φορές γράμματα στις τρεις ρίψεις» και Β το ενδεχόμενο «γράμματα στη δεύτερη ρίψη». Το ενδεχόμενο που ορίζει η τομή τους ΑΒ, συμβαίνει όταν βγουν δύο φορές Γράμματα και η μία από αυτές είναι στην δεύτερη ρίψη. Δηλαδή περιέχει δύο στοιχειώδη ενδεχόμενα: το (ΓΓΚ) και το (ΚΓΓ). Καθώς όλα τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι 8, με βάση τις ισοπίθανες εκδοχές παίρνω Ρ(ΑΒ)=  . Αντίστοιχα για το ενδεχόμενο α παίρνω τρία στοιχειώδη ενδεχόμενα και πιθανότητα ίση με Ρ(Α)= .

Έτσι καταλήγω Ρ(Β|Α)=  .

Άσκηση 2

Ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να εμφανισθεί με πιθανότητα 0.6 σε μία από τις 4 στοιβάδες του ατόμου και μάλιστα με ίση πιθανότητα σε οποιαδήποτε από τις στοιβάδες αυτές. Με την συμπληρωματική πιθανότητα 0.4το ηλεκτρόνιο χάνεται. Έστω ότι στις πρώτες τρεις στοιβάδες το ηλεκτρόνιο δεν εμφανίστηκε. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανιστεί στην τέταρτη στοιβάδα.

Λύση: Έστω Α το ενδεχόμενο «το ηλεκτρόνιο δεν εμφανίστηκε στις πρώτες τρεις στοιβάδες» και Β «το ηλεκτρόνιο εμφανίστηκε στην τέταρτη στοιβάδα». Καθώς οι πιθανότητες εμφάνισης σε κάθε στοιβάδα είναι ίσες μεταξύ τους, η κοινή τιμή τους είναι  = 0.15

H πιθανότητα του Α υπολογίζεται σαν συμπλήρωμα της πιθανότητας εμφάνισης στις τρεις πρώτες στοιβάδες Ρ(Α)= 1- 3 0.15= 1- 0.45= 0.55. Το ενδεχόμενο της τομής ΑΒ συμπίπτει με το ενδεχόμενο Β, δηλαδή το ηλεκτρόνιο να εμφανισθεί στην τέταρτη στοιβάδα Ρ(ΑΒ)=Ρ(Β)=0.15.

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε την δεσμευμένη πιθανότητα που ζητάμε: P(B|A)=  .

Άσκηση 3

Για το διοικητικό συμβούλιο μιας επιχείρησης θα εκλεγεί ένας αντιπρόσωπος. Υποψήφιοι είναι 7 άνδρες και 8 γυναίκες. Από τους υποψηφίους 3 άνδρες και 6 γυναίκες είναι διοικητικοί υπάλληλοι, ενώ 4 άνδρες και 2 γυναίκες είναι τεχνικοί υπάλληλοι.

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α: “Να εκλεγεί διοικητικός”
Β: “Να εκλεγεί γυναίκα”.

Με την παραδοχή ότι τα 15 στοιχεία του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα, έχουμε  Ρ(Α) =  και Ρ(Β) = 

Ύστερα από την εκλογή και πριν από την ανακοίνωση του αποτελέσματος έγινε γνωστό ότι εκλέγεται γυναίκα. Αυτό συνεπάγεται ότι ο αντιπρόσωπος θα είναι μία από τις 8 γυναίκες και επομένως η πιθανότητα να εκλεγεί διοικητικός γίνεται . Αυτή λοιπόν είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου: “Να εκλεγεί διοικητικός με δεδομένο ότι έχει ήδη εκλεγεί γυναίκα”. Το ενδεχόμενο αυτό συμβολίζεται με A|B και η πιθανότητα του P(A|B) λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β, δηλαδή P(A|B) =   P(A). Ομοίως βρίσκουμε ότι P(B|A)=   P(B).

Γενικά, έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(B) > 0. Ας υποθέσουμε ότι ζητάμε την πιθανότητα του Α με δεδομένο ότι το Β έχει ήδη πραγματοποιηθεί.

Αφού έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β, η απλή λογική μας λέει ότι πρέπει να περιοριστούμε στα στοιχεία του Β και από αυτά να βρούμε ποια είναι τα ευνοϊκά για το Α. Με άλλα λόγια η πληροφορία για την πραγματοποίηση του Β περιορίζει το δειγματικό χώρο Ω στο Β και το ενδεχόμενο Α στο A ∩ B.