Αποικία του Χρέους: Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν x

Πέμπτη 19 Νοεμβρίου 2015

Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν x

Από Quantitative

Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν $x p$

Μία απλή πρόβλεψη της τιμής του Y για δοσμένο X υπολογίζεται βάζοντας την τιμή του X στην εξίσωση παλινδρόμησης. Η εξίσωση της ευθείας παλινδρόμησης $\hat{Y}$ = $\hat{\alpha}$ + $\hat{\beta}$ x για δοθέν x=

x p

αποτελεί μια εκτίμηση της Ε(Υ/Χ=

x p

)= α + β

x p

δηλαδή της μέσης αναμενόμενης τιμής του Υ για δοθέν x. Έτσι όταν έχουμε Υ=y ένα σφάλμα είναι αυτό της απόστασης του y από την Ε(Υ/Χ=

x p

)που είναι κάποιο τυχαίο, "ανεξήγητο" σφάλμα ε και το δεύτερο αυτό της απόστασης του y από την ευθεία πρόβλεψης $\hat{Y}$ ,έστω το e=Y- $\hat{Y}$ . Έτσι η e= Y- $\hat{Y}$ ισούται με την απόκλιση της $\hat{Y}$ από τη μέση τιμής της Υ συν ένα τυχαίο σφάλμα ε, δηλαδή $\hat{Y}$ = $\hat{\alpha}$ + $\hat{\beta}$ x=e. Συνεπώς η μεταβλητότητα για την πρόβλεψη τιμών της μεταβλητής Υ είναι μεγαλύτερη από αυτήν της εκτίμησης της μέσης τιμής.

Η διακύμανση της $Y-\hat Y$ δίνεται από την σχέση, $var(Y-\hat Y)=\sigma^2[1+{\frac{1}{n}}=\frac{(x_p-\overline x)^2}{S_{xx}}]$

και συνεπώς ένας εκτιμητής αυτής είναι όταν στην παραπάνω σχέση το

σ 2

αντικατασταθεί με $S^2_{YX}$ ο:

$S^2_{Y-\hat Y}=S^2_{YX}(1+{\frac{1}{n}}+{\frac{(x_p-\overline x)^2}{S_{xx}}})$

ενώ το διάστημα εμπιστοσύνης για την πρόβλεψη του y είναι το:

$[\hat y-t_{n-2;\alpha/2}S_{Y\hat{Y}},\hat{y}+t_{n-2;\alpha/2}S_{Y-\hat {Y}} ]$ όπου $S_{Y \hat Y}=\sqrt{S^2_{XY}(1+{\frac{1}{n}}+\frac{(x_p-\overline x)^2}{S_{xx}})}$ .

Η πραγματική τιμή Υ θα διαφέρει από την $\widehat {Y}$ γιατί:

1) $\widehat {Y}$ είναι εκτιμητής της Ε(Υ) και επομένως υπάρχει σφάλμα δειγματοληψίας, που ισούται με $\widehat {Y} - E(Y)$

2) H Y δεν είναι ίση με Ε(Υ), γιατί ο διαταρακικός όρος μπορεί να μην πάρει την τιμή μηδέν στην περίοδο που γίνεται η πρόβλεψη. Η διαφορά επομένως είναι ίση με τον διαταρακτικό όρο, δηλαδή:

Y - E (Y) = β o + β 1 X + u - (β 0 + β 1 X) = u

Σκοπός είναι η πρόβλεψη μιας καινούριας παρατήρησης της εξαρτημένης μεταβλητής Y η οποία αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο της ανεξάρτητης μεταβλητής X.Πρόβλεψη Νέας Παρατήρησης

Χρησιμοποιώντας το μοντέλο παλινδρόμησης η καινούρια παρατήρηση έχει την τιμή:Σημειακή Εκτίμηση

$\widehat{Y_{h}}=\widehat{\alpha}+ \widehat{\beta_{1}} X_{h}$

όπου

X i

είναι ένα δεδομένο επίπεδο της ανεξάρτητης μεταβλητής και οι παράμετροι α και

β 0

έχουν εκτιμηθεί με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Είναι αρκετα δύσκολο σημείο η πρόβλεψη για μια καινούρια παρατήρηση, διότι υπάρχουν 2 πηγές μεταβλητότητας όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω.Διάστημα Πρόβλεψης

Οι παράμετροι του μοντέλου μας είναι άγνωστες, και εκτιμώνται με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Η ποσότητα $\frac{Y_{h}- \widehat{Y_{h}}}{s(pred)}$ ακολουθεί την κατανομή t με (n-2) βαθμούς ελευθερίας.

Οι πηγές διακύμανσης στην περίπτωση αυτή είναι:

Διακύμανση της κατανομής του Y στο $X = X h$ , δηλαδή το $σ 2$ .

Η διακύμανση της δειγματικής κατανομής του $\widehat{Y_{h}}$ , δηλαδή το $\sigma^{2}(\widehat{Y_{h}})$ .

Ένας αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης δίνεται απο τον τύπο:

$s^{2}(pred)= s_{xy}^{2}+s_{\widehat{Y}}^{2}=s_{XY}^{2} [1+\frac{1}{n} +\frac{(X_{h}- \overline{X})^{2}}{\sum(X_{i}-\overline{X})^{2}}]$

Το διάστημα πρόβλεψης για την καινούρια παρατήρηση

Y h (n e w)

είναι:

$\widehat{Y_{h}} \pm t(1-\frac{\alpha}{2}, n-2) s(pred)$

Παραδειγμα 1

Θεωρούμε το μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης ανάμεσα στις μεταβλητές Διαφημιστικά Έξοδα (X) και Πωλήσεις (Y)

> x=c(5,64,33,12,47,89,16)
> y=c(8,36,42,15,36,44,21)

Θέλει η εταιρία να προβλέψει τις πωλήσεις της αν ξοδέψει 27 εκ. ευρώ. Οπότε

X n = 27

Οι συντελεστές της παλινδρόμησης είναι:

> lm(y~x)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    14.1618       0.3867

Η σημειακή εκτίμηση είναι

Y n = 25.0589

Θέλουμε να υπολογίσουμε ένα 95% διάστημα πρόβλεψης.

Η διακύμανση είναι:

s 2 (p r e d) = 81.64362

Άρα το διάστημα πρόβλεψης είναι : $\widehat{Y_{n}} \pm t(1-a/2,n-2) s(pred)$

το ποσοστιαίο σημείο είναι: t(1-0.05/2,7-2)=2.570582

και το διάστημα πρόβλεψης : [1,831929, 48,285871]

Παράδειγμα 2

Θεωρούμε τις μεταβλητές X (ανεξάρτητη) καιY (εξαρτημένη). Για μια καινούρια τιμή της X,

X n = 40

θα υπολογίσουμε ένα διάστημα πρόβλεψης (95%) της

Y n

> x=c(21,25,24,27,31)
> y=c(132,145,153,157,164)

Η διακύμανση είναι: $s^{2}(pred)=MSE [1+ \frac{1}{n}+ \frac{(X_{n}-\overline{X})^{2}}{\sum (X_{i}-\overline{X})^{2}}]=4,88968 (33.73)= 164.9289$

Το ποσοστιαίο σημείο της κατανομής t είναι

t (1 - 0.05 / 2,3) = 3.182446

Η σημειακή εκτίμηση για την εξαρτημένη μεταβλητή είναι

Y n = 193.589

απο το υπόδειγμα $\widehat{Y}=\widehat{\alpha}+ \widehat{\beta} X$ .

> lm(y~x)

Coefficients:
(Intercept)            x  
     73.029        3.014

Εδώ δίνονται οι συντελεστές παλινδρόμησης.

Τελικά, το διάστημα πρόβλεψης είναι: $\widehat{Y_{n}} \pm t(1-a/2,n-2) s(pred)$

Άρα: [152,71856, 234,45944]

Αποικία του Χρέους

Σελίδες

Πέμπτη 19 Νοεμβρίου 2015

Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν x

Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν $x p$

Χρησιμοποιώντας το μοντέλο παλινδρόμησης η καινούρια παρατήρηση έχει την τιμή:Σημειακή Εκτίμηση

Είναι αρκετα δύσκολο σημείο η πρόβλεψη για μια καινούρια παρατήρηση, διότι υπάρχουν 2 πηγές μεταβλητότητας όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω.Διάστημα Πρόβλεψης

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Athens

ΞΕΡΕΙΣ ΠΩΣ ΝΑ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΕΙΣ;

Σελίδες

Πέμπτη 19 Νοεμβρίου 2015

Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν x

Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν xp

Χρησιμοποιώντας το μοντέλο παλινδρόμησης η καινούρια παρατήρηση έχει την τιμή:Σημειακή Εκτίμηση

Είναι αρκετα δύσκολο σημείο η πρόβλεψη για μια καινούρια παρατήρηση, διότι υπάρχουν 2 πηγές μεταβλητότητας όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω.Διάστημα Πρόβλεψης

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Πρόβλεψη τιμών της Υ για δοθέν $x p$