Αποικία του Χρέους: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

Σάββατο 21 Νοεμβρίου 2015

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

Από Quantitative

Οι έλεγχοι με τις στατιστικές t και F προυποθέτουν ότι ο διαταρακτικός όρος κατανέμεται κανονικά διαφορετικά για μικρά δείγματα ο έλεγχος δεν θα είναι έγκυρος. Η κανονικότητα του διαταρακτικού όρου σ'ένα γραμμικό υπόδειγμα είναι μια υπόθεση που δεν ελέγχεται τόσο συχνά. Ένας τέτοιος τρόπος είναι ο έλεγχος Jarque and Bera, ο οποίος βασίζεται στα κατάλοιπα που προκύπτουν από την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων.

Ο έλεγχος γίνεται με βάση την στατιστική

J B = n (S 2 / 6 + (k - 3) 2 / 24)

= $\frac {n}{6} \left( S^2 + \frac14 (K-3)^2 \right)$

όπου n=ο αριθμός των παρατηρήσεων, S= ασυμμετρία και k=κύρτωση της κατανομής των καταλοίπων.

Για μια τυχαία μεταβλητή Χ η ασυμμετρία ορίζεται με βάση την τρίτη κεντρική ροπή και υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: $S= {\Sigma(X_t - \bar{X})^3}/ T s^3$

όπου $s = \sqrt {(\Sigma(X_t - \bar{X}))^2 / T }$

Μια από τις βασικές υποθέσεις του υποδείγματος παλινδρόμησης είναι η υπόθεση της κανονικότητας των διαταρακτικών όρων. Αποτέλεσμα της υπόθεσης αυτής είναι:

- Η εξαρτημένη μεταβλητή να κατανέμεται κανονικά

- Οι εκτιμητές των συντελεστών της παλινδρόμησης να κατανέμονται κανονικά

- Οι μέθοδοι εκτίμησης όπως της μέγιστης πιθανότητας να βασίζονται στην υπόθεση της κανονικότητας

- Οι έλεγχοι των υποθέσεων να βασίζονται στην κανονική κατανομή, ή στις παράγωγες αυτής όπως η t, F, και η

x 2

Οι Jarque and Bera (1980), πρότειναν τον έλεγχο για την κανονικότητα των καταλοίπων ο οποίος χρησιμοποιεί την ασυμμετρία και την κύρτωση των καταλοίπων ακολουθώντας τα παρακάτω 6 βήματα:

ΒΗΜΑ 1

Γράφω τις δύο υποθέσεις για την κανονικότητα των καταλοίπων:

Ηο: Τα κατάλοιπα κατανέμονται κανονικά.

Ηα: Τα κατάλοιπα δεν κατανέμονται κανονικά.

Ο έλεγχος για την κανονικότητα των καταλοίπων γίνεται με την

x 2

κατανομή και με βαθμούς ελευθερίας ν = 2 και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μηδενική υπόθεση ότι η κύρτωση και η ασυμμετρία είναι μηδέν.

ΒΗΜΑ 2

Σχηματίζοντας την

x 2

κατανομή βρίσκω το κρίσιμο σημείο για επίπεδο σημαντικότητας 5% και βαθμούς ελευθερίας ν = 2.

ΒΗΜΑ 3

Εκτιμούμε το υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και βρίσκουμε τα κατάλοιπα:

u i

ΒΗΜΑ 4

Χρησιμοποιώντας τα κατάλοιπα

u i

υπολογίζουμε τους συντελεστές της ασυμμετρίας και κύρτωσης ως εξής:

S= $\frac{1}{n}$ $\sum_{t=1}^{n}\Bigg(\frac{u_{t}-\overline{u}}{\hat{\sigma}}\Bigg)^3$

$\alpha_{3}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(x_{t}-\overline{x})^3}{s^3}$

K= $\frac{1}{n}$ $\sum_{t=1}^{n}\Bigg(\frac{u_{t}-\overline{u}}{\hat{\sigma}}\Bigg)^4$

$\alpha_{4}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(x_{t}-\overline{x})^4}{s^4}$

Υπενθυμίζεται εδώ ότι για μια τυχαία μεταβλητή Χ, η ασυμμετρία ορίζεται με βάση την τρίτη κεντρική ροπή ως προς το μέσο.

Επίσης αν:

α 3

< 0 η μεταβλητή (κατανομή) είναι ασύμμετρη αριστερά

α 3

> 0 η μεταβλητή (κατανομή) είναι ασύμμετρη δεξιά

α 3

= 0 η μεταβλητή (κατανομή) είναι συμμετρική

Υπενθυμίζεται εδώ ότι για μια τυχαία μεταβλητή Χ η κύρτωση ορίζεται με βάση την τέταρτη κεντρική ροπή ως προς το μέσο. Επίσης αν:

α 4

< 3 η μεταβλητή (κατανομή) είναι πλατύκυρτη

α 4

> 3 η μεταβλητή (κατανομή) είναι λεπτόκυρτη

α 4

= 3 η μεταβλητή (κατανομή) είναι μεσόκυρτη

όπου:

$\overline{u}$ = αριθμητικός μέσος (μηδέν) των καταλοίπων

και $\hat{\sigma}$ η τυπική απόκλιση $\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{t=1}^{n}(u_{t}-\overline{u})^2}$

ΒΗΜΑ 5

- Χρησιμοποιώ το στατιστικό των Jarque and Bera και υπολογίζω την ποσότητα: $JB=(n-k-1)\Bigg[\frac{s^2}{6}+\frac{(K-3)^2}{24}\Bigg]$ = $\frac{n-k-1}{6} \left( S^2 + \frac14 (K-3)^2 \right)$

όπου

n = ο αριθμός των παρατηρήσεων και

k = αριθμός των ερμηνευτικών μεταβλητών του υποδείγματος.

ΒΗΜΑ 6

Αν η ποσότητα JB >

x 2

τότε απορρίπτω την Ηο. Πρέπει να επισημάνουμε εδώ ότι ο έλεγχος JB δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα μόνο σε μεγάλα δείγματα και επίσης είναι αρκετά ευαίσθητος όταν στα στοιχεία που εξετάζουμε υπάρχουν έκτοπες παρατηρήσεις.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Jarque. CM. and A. Bera (l987). 'A test for normality of observations and regression residuals'. International Statistical Review, 55. l63-72

[επεξεργασία]

Έλεγχος ανεξαρτησίας του $X 2$

Ο έλεγχος αυτός ανήκει στην κατηγορία των μη παραμετρικών ελέγχων και ακολουθεί την κλασική μεθοδολογία ελέγχου ανεξαρτησίας ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα:

Γράφω τις δύο υποθέσεις για την ύπαρξη της αυτοσυσχέτισης.

Ηο: Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση ρ = 0

Ηα: Υπάρχει αυτοσυσχέτιση ρ ≠

Σχηματίζοντας την

X 2

κατανομή βρίσκω το κρίσιμο σημείο για επίπεδο σημαντικότητας 5% και βαθμούς ελευθερίας ν = 1.

Εκτιμούμε τη βασική συνάρτηση με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και σώζουμε τα κατάλοιπα

u t

Κατασκευάζω ένα πίνακα 2Χ2 και τοποθετώ τα κατάλοιπα

u i

στις δύο κάθετες στήλες αφού πρώτα τα χωρίσω σε θετικά και αρνητικά, και στις δύο οριζόντιες σειρές τα κατάλοιπα

u t - 1

αφού και αυτά τα χωρίσω σε θετικά και αρνητικά.

2

=(n-1)(ad-bg)^2/(α+γ)(β+δ)(α+β)(γ+δ)

Αν η ποσότητα

2

2

(1) τότε απορρίπτω την Ηο.

Εκτιμούμε τη βασική συνάρτηση με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και σώζουμε τα κατάλοιπα

u i

. Μετασχηματίζουμε τις μεταβλητές λαμβάνοντας υπόψιν το συντελεστή αυτοσυσχέτισης και ξανατρέχουμε τη νέα συνάρτηση. Η μέθοδος των πρώτων διαφορών χρησιμοποιείται αν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ = 1 (τέλεια θετική συσχέτιση) ή ρ = - 1 (τέλεια αρνητική συσχέτιση) οπότε έχουμε και το υπόδειγμα των κινητών μέσων δύο περιόδων.

Η μέθοδος Durbin

DW= $\frac{\sum_{i=2}^{n}(e_{i}-e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^{n}(e_{i}^2)}$

ΒΉΜΑ 1

Εκτιμούμε τη βασική συνάρτηση με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και σώζουμε τα κατάλοιπα

u i

. Χρησιμοποιώντας τα κατάλοιπα υπολογίζουμε τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης ως εξής:

u i

= p1u t-1 + p2u t-2 + Vt

ΒΉΜΑ 2

Μετασχηματίζουμε τις μεταβλητές λαμβάνοντας υπόψιν τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης και ξανατρέχουμε τη νέα συνάρτηση:

Μέθοδοι επαναληπτικών διαδικασιών. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή τα δύο βήματα που χρησιμοποιήσαμε στην παραπάνω μέθοδο αποτελούν την πρώτη επανάληψη.

Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται πολλές φορές, χρησιμοποιώντας την πληροφόρηση από την προηγούμενη επανάληψη.

Μέθοδοι διαδικασιών αναζήτησης

Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ δεν εκτιμάται από κάποια προηγούμενη διαδικασία, αλλά επιλέγουμε εκείνη την τιμή για το συντελεστή αυτοσυσχέτισης που αριστοποιεί κάποιο κριτήριο.

Αποικία του Χρέους

Σελίδες

Σάββατο 21 Νοεμβρίου 2015

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

Έλεγχος ανεξαρτησίας του $X 2$

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Athens

ΞΕΡΕΙΣ ΠΩΣ ΝΑ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΕΙΣ;

Σελίδες

Σάββατο 21 Νοεμβρίου 2015

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

Έλεγχος ανεξαρτησίας του X2

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Έλεγχος ανεξαρτησίας του $X 2$