Τρίτη 21 Απριλίου 2015

Έλεγχοι υποθέσεων για τη μέση τιμή

Quantitative

Έλεγχοι υποθέσεων για τη μέση τιμή

Σχετικά με τους ελέγχους υποθέσεων για τη μέση τιμή διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

A)Γνωστή ή άγνωστη διακύμανση και μεγάλος πληθυσμός

Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε τη μηδενική υπόθεση

H 0 :μ = μ 0

έναντι της ενναλλακτικής

H 1 :μ > μ 0

. Από προηγούμενη παράγραφο είναι γνωστό ότι ένας σημειακός εκτιμητής της μέσης τιμής μ είναι η δειγματική μέση τιμή χ. Αν το δείγμα προέρχεται από κανονικό πληθυσμό

N (μ,σ 2)

, ανεξάρτητα από το μέγεθος του δείγματος, ισχύει $X \sim N(\mu,\frac{\sigma_{2}}{n})$ . H ίδια σχέση ισχύει και στην περίπτωση που το δείγμα είναι μεγάλο.

Το στατιστικό τεστ ορίζεται ως εξής:

Μονόπλευρος έλεγχος $\Rightarrow$

H 0 :μ = μ 0

και

H 1 :μ > μ 0

H 0 :μ = μ 0

και

H 1 :μ < - μ 0

Δ.Ε.:

R = Z > Z a

R = Z < - Z a

Αμφίπλευρος έλεγχος $\Rightarrow$

H 0 :μ = μ 0

και $H_{1}:\mu \neq \mu_{0}$

Δ.Ε.: $R=\left|{Z}\right|>Z_{a/2}$

Στατιστικό: $Z=\frac{(\mathit{{\chi}}-\mathit{{\mu}}_{0})}{(\frac{\mathit{{\sigma}}}{\sqrt{n}})}$ ή $Z=\frac{(\mathit{{\chi}}-\mathit{{\mu}}_{0})}{(\frac{s}{\sqrt{n}})}$

B)Άγνωστη διακύμανση και μικρό δείγμα

Οταν είναι άγνωστη η διακύμανση και το δείγμα είναι μικρό και προέρχεται απο κανονικό πληθυσμό η τυχαία μεταβλητή είναι $t=\frac {x- \mu_{0}}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1}$ .

To τεστ ορίζεται ως εξής:

Μονόπλευρος έλεγχος $\Rightarrow$

H 0 :μ = μ 0

και

H 1 :μ > μ 0

H 0 :μ = μ 0

και

H 1 :μ < - μ 0

Δ.Ε.:

R = t > t n - 1; a / 2

R = t < - t n - 1; a / 2

Αμφίπλευρος έλεγχος $\Rightarrow$

H 0 :μ = μ 0

και $H_{1}: \mu \neq \mu_{0}$

Δ.Ε.: $R=\left|{t}\right|>t_{n-1;a/2}$

Στατιστικό: $t=\frac{(\mathit{{\chi}}-\mathit{{\mu}}_{0})}{(\frac{s}{\sqrt{n}})}$

Παραδείγματα με το R:

1ο-Άγνωστη διακύμανση

Μια μηχανή παράγει καρφιά μέσου μήκους 9cm.Τυχαίο δείγμα 100 καρφιών έδωσε μήκη

>mikos=c(8.81,9.18,9.23,8.62,8.9,8.87,8.71,9,9.2,8.34, + 8.71,8.56,9.12,8.21,8.79,9.13,8.49,8.85,8.31,8.99, + 8.14,8.69,8.26,8.54,8.33,8.47,8.28,8.78,8.11,8.86, + 8.75,8.41,8.97,8.52,8.9,8.4,8.61,8.73,8.88,8.27, + 9.18,8.23,8.96,8.74,8.43,8.2,8,9.13,8.75,8.41, + 8.16,8.35,8.67,8.22,8.71,8.75,8.63,8.95,8.52,8.66, + 8.45,8.32,9,9.1,8.71,8.59,8.68,8.6,8.39,8.54, + 8.97,8.55,8.74,8.63,8.22,8.47,8.39,8.92,8.72,9.17, + 8.64,8.23,8.54,8.96,8.35,8.47,8.65,8.3,8.42,8.7, + 9,8.62,8.39,8.76,9.11,8.59,8.47,8.8,9.15,8.7) > length(mikos) [1] 100

Η μέση τιμή του δείγματος είναι mean(mikos) [1] 8.6458

Να ελεγχθεί η υπόθεση ότι

m 0 = 9

έναντι της εναλλακτικής $m_{0} \neq 9$ με επίπεδο σημαντικότητας α=0,05

Για να κάνουμε τον έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή εκτελούμε την παρακάτω εντολή:

> mean(mikos) [1] 8.6458 > sd(mikos) [1] 0.295013

> xbar=8.6458;s=0.295013;n=100 > t = (xbar-9)/(s/sqrt(n)) > t [1] -12.00625 > pt(t,df=n-1) [1] 2.487602e-21

Βλέπουμε ότι η τιμή 2.487602e-21είναι πολύ μικρότερη της μηδενικής υπόθεσης, άρα η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται.

2ο-Γνωστή διακύμανση

Έστω ότι τα δεδομένα του 1ου παραδείγματος είχαν ως εξής: Μια μηχανή παράγει καρφιά μέσου μήκους 9cm σύμφωνα με την κανονική κατανομή, με μεση τιμή xbar=8.6458 s=0.295013. Τυχαίο δείγμα 100 καρφιών έδωσε μήκη

Να ελεγχθεί η υπόθεση ότι

m 0 = 9

έναντι της εναλλακτικής $m_{0} \neq 9$ με επίπεδο σημαντικότητας α=0,05

Για να κάνουμε τον έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή εκτελούμε την παρακάτω εντολή:

Αρχικά βρίσκουμε το z

> z=(sqrt(n)*(xbar-9)/s) > z [1] -1.180667

και μετά

> simple.z.test = function(mikos,sigma,conf.level=0.95) + {n=length(mikos);xbar=mean(mikos) + alpha = 1 - conf.level + zstar = qnorm(1-alpha/2) + SE = sigma/sqrt(n) + xbar + c(-zstar*SE,zstar*SE)} > simple.z.test(mikos,0.295013) [1] -0.05782149 0.05782149

Η αρχική υπόθεση όμως δεν ανήκει στο διάστημα (-0.05782149,0.05782149), άρα δεν απορρίπτεται.

iwanna giakoumaki (995)

Ενότητα 4 Έλεγχος υπόθεσης για τη μέση τιμή και τη διακύμανση

Στατιστική υπόθεση είναι μια πρόταση, η οποία συνήθως αναφέρεται στην τιμή μιας παραμέτρου θ του πληθυσμού ή είναι μια οποιαδήποτε άλλη υπόθεση που αφορά τον πληθυσμό. Υπόθεση μηδέν λέγεται η υπόθεση για έλεγχο και συμβολίζεται με Ho. Επειδή ο έλεγχος της Ho καταλήγει στην αποδοχή ή στην απόρριψή της, επιβάλλεται να υπάρχει συγχρόνως και μια άλλη υπόθεση, ασυμβίβαστη προς την Ηο, που θα γίνει δεκτή στην περίπτωση που απορριφθεί η Ho. Η υπόθεση αυτή λέγεται εναλλακτική και συμβολίζεται με Η1.

Παίρνω ένα δείγμα 48 μετοχών.

>w=c(1.98,2.88,2.33,0.21,2.27,0.37,3.16,0.23,0.78,0.65,0.26,0.9,1.98,0.4,3.28,6.02,0.45,0.39,1.87,0.49,0.23,1.27,0.18,0,0,0.29,21.94,0.86,0.58,1.21,1.17,0.16,3.1,0.44,1.7,0.69,0.48,0,1.08,2.19,1.2,1.37,1.44,0.73,3.52,1.89,0.67,2.93).

Θα ελέγξουμε την υπόθεση μ=2,αλλιώς μ<2.

> mean(w) [1] 1.712917

> sd(w) [1] 3.217711

> xbar=1.712917;s=3.217711;n=48 > t = (xbar-2)/(s/sqrt(n)) > t [1] -0.6181318 > pt(t,df=n-1) [1] 0.2697362

Κανονικός πληθυσμός με γνωστή διακύμανση

Διαστήματα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή κανονικού πληθυσμού με γνωστή διακύμανση

Θεωρούμε πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή Ν(μ,

σ 2

) όπου

σ 2

γνωστή. Έστω το τυχαίο δείγμα απο τον πληθυσμό

X 1

,...,Χν. Γύρω από τον άγνωστο μέσο του πληθυσμού υπάρχει ηυπόθεση Η ότι μ παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή μ=

μ 0

. δηλ. Η: μ= $μ 0$ . Θεωρούμε την Η μηδενική υπόθεση. Και έτσι έχουμε τις εξής εναλλακτικές υποθέσεις:

$A 1$ : μ $\neq$ $μ 0$
$A 2$ : μ > $μ 0$
$A 3$ : μ < $μ 0$

για την μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού με γνωστή διακύμανση

σ 2

είναι: Στατιστική: $z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$
Η τιμή της Ζ συγκρίνεται με την τιμή που παίρνουμε από τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής σε επίπεδο σημαντικότητας α.
Έτσι για κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις έχουμε αντίστοιχα:
1) Απορρίπτουμε την

H 0

, αν

| Z | > Z α / 2

2) Απορρίπτουμε την

H 0

, αν

Z > Z α

3) Απορρίπτουμε την

H 0

, αν

Z < - Z α

Διάστημα εμπιστοσύνης 1-a  :

$\Bigg( \bar{x}-t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \bar{x}+t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Bigg)$
$\Bigg( -\infty , \bar{x}+t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Bigg)$
$\Bigg( \bar{x}+t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , +\infty \Bigg)$
Όσο πιο μεγάλη είναι η τιμή της στατιστικής συνάρτησης z, ανάλογα μεγάλη γίνεται η απόσταση της τιμής του μ από το μ0. Τότε η Η απορρίπτεται.
Για τον έλεγχο της Η έναντι της

A 1

A 2

A 3

μπορούμε ν'ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:

Επιλέγουμε το επίπεδο σημαντικότητας α, συνήθως α=0.05 ή 0.01.
Υπολογίζουμε την τιμή της στατιστικής ελέγχου z όπως παραπάνω.
Η κρίσιμη περιοχή ή αλλιώς το πεδίο απόρριψης της Η είναι:

C=(- $\infty$ , $z a / 2$ ) $\cup$ ( $z a / 2$ ,+ $\infty$ ) σχετικά με την εναλλακτική $A 1$
C=( $z a$ ,+ $\infty$ )σχετικά με την εναλλακτική $A 2$
C=(- $\infty$ , - $z a$ )σχετικά με την εναλλακτική $A 3$

όπου

z a / 2

και

z a

είναι το α/2 και α σημείο της Ν(0,1).
Τελικά απορρίπτουμε την Η εφόσον z είναι μια τιμή από το διάστημα C.
Παράδειγμα
Σε εργοστάσιο εμφιαλωσης ποτών όπου παρατηρήθηκε ότι η ποσότητα Χ του ποτού σε κάθε φιάλη ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(500,

1.52

) λαμβάνεται ένα δείγμα μεγέθους n=25 μέσο μ=499.28(

c m 3

). Να ελεγχθεί η υπόθεση Η: μ=500

c m 3

έναντι

της $A 1$ : μ $\neq$ 500 $c m 3$ , για την οποία υπόθεση θα ενδιαφέρονται περισσότερο ελεγκτές από το κράτος.
της $A 2$ : μ > 500 $c m 3$ , για την οποία υπόθεση θα ενδιαφέρονται περισσότερο οι ιδιοκτήτες του εργοστασίου.
της $A 3$ : μ< 500 $c m 3$ , για την οποία υπόθεση θα ενδιαφέρονται περισσότερο οι καταναλωτές.

Λύση

Επιλέγουμε επίπεδο σημαντικότητας α=0.01.
z=-2.4
Η κρίσιμη περιοχή ειναι:

Σε σχέση με την εναλλακτική $A 1$ :

C=(- $\infty$ ,

- 2.576

) $\cup$ (

2.576

,+ $\infty$ ).

Σε σχέση με την εναλλακτική $A 2$ :

C=(2.326,+ $\infty$ ).

Σε σχέση με την εναλλακτική $A 3$ :

C=(- $\infty$ ,-2.326)
Επομένως:

Επειδή z=-2.4 δεν ανήκει στο C, δεν απορρίπτουμε την Η.
Επειδή z=-2.4 δεν ανήκει στο C, οι ιδιοκτήτες δεν απορρίπτουν την Η.
Επειδή z=-2.4 ανήκει στο C, οι καταναλωτές απορρίπτουν την Η.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Έστω εταιρία που παράγει συνθετικό δέρμα με μέσο πάχος μ=4 χιλιοστα & σ=0,1 χιλιοστά.
Έστω ακόμα ότι από δείγμα n=50 προέκυψε μέσο πάχος χ=4,02 χιλιοστά.
Εξελίσσεται όμως η παραγωγή σύμφωνα με τις προδιαγραφές ή υπάρχει καποιο θέμα?
ΛΥΣΗ
Η0:μ=4 ΧΙΛΙΟΣΤΆ
Η1:μ≠4 ΧΙΛΙΟΣΤΑ
επίπεδο σημαντικότητας=0,05
αν Ζ<-1,96 απορρίπτουμε την υπόθεση μηδέν & δεχόμαστε την Η1
ή Ζ˃+1,96 υπάρχει πρόβλημα με το πάχος

Ζ=+1,41 δηλαδή -1,96<Ζ˃+1,96 βρισκόμαστε στην περιοχή αποδοχής μηδέν

Κανονικός πληθυσμός με άγνωστη διακύμανση

Διαστήματα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή κανονικού πληθυσμού με άγνωστη διακύμανση

Θεωρούμε πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή Ν(μ,

σ 2

) και

σ 2

άγνωστη. Έστω τυχαίο δείγμα

X 1

,...,Χν του πληθυσμού. Ελέγχουμε την υπόθεση Η: μ=

μ 0

έναντι:

Α1 : μ $\neq$ $μ 0$
Α2 : μ> $μ 0$
Α3 : μ< $μ 0$

Για την μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού με άγνωστη διακύμανση

σ 2

έχουμε: i. Για μικρά δείγματα $n\leq30$ Στατιστική: $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1}$

Διάστημα εμπιστοσύνης 1-a :

$\Bigg( \bar{x}-t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{s}{\sqrt{n}} , \bar{x}+t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{s}{\sqrt{n}} \Bigg)$
$\Bigg( -\infty , \bar{x}+t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{s}{\sqrt{n}} \Bigg)$
$\Bigg( \bar{x}+t_{n-1, \frac(a)(2)} \frac{s}{\sqrt{n}} , +\infty \Bigg)$

- Μεγάλα δείγματα (n>30 )

 $H 0$  : μ=  $m u 2$

Η στατιστική ελέγχου είναι:

t=

και H_1 μ#

μ 0

, μ <

μ 0

,μ >

μ 0

η κρίσιμη περιοχή θα έιναι
t $\leq -z_{\frac{\alpha}{2}}$ ή t $\geq -z_{\frac{\alpha}{2}}$
t $\leq -z_{\alpha}$
t $\geq -z_{\alpha}$
Παράδειγμα 1ο
Ένα τυχαίο δείγμα 25 παρατηρήσεων (υποθέτουμε κανονική κατανομή Ν(μ, $σ 2$ ) ) έδωσε μέσο

μ δ = 78

και s=12.8 . Να γίνει έλεγχος για την αρχική υπόθεση Η: μ=75 έναντι της

A 1

: μ $\neq$ 75.
Λύση

Θεωρούμε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05.
Υπολογίζουμε την τιμή t όπως παραπάνω και έχουμε t=1.48.
Η κρίσιμη περιοχή είναι η C=(- $\infty$ ,-2.064) $\cup$ (2.064,+ $\infty$ ) επειδή $t 24;0.025$ =2.064 .

Τελικά, επειδή t=1,48 δεν ανήκει στο C, δεν απορρίπτουμε την υπόθεση Η:μ=75.
Παράδειγμα 2ο
Με μια νέα μέθοδο προσδιορισμού του σημείου τήξης (σ.τ.) μετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω μετρήσεις για το μαγγάνιο:
1267, 1262, 1267, 1263, 1258, 1263, 1268.
Να εξεταστεί αν η νέα μέθοδος σφάλει με ε.σ. 0.05, δεδομένου ότι το σ.τ. του μαγγανίου είναι 1260°C.
Έχουμε έναν αμφίπλευρο έλεγχο μέσου με άγνωστη διασπορά σε μικρό δείγμα (n=7):
Ηο: μ = μo
Η1: μ ≠ μo, όπου μo = 1260.
Εύκολα υπολογίζουμε το δειγματικό μέσο των παρατηρήσεων μας:
$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}= 1264$ , καθώς και τη δειγματική διασπορά:
$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2= 12.67$
Από τους πίνακες προκύπτει ότι η κρίσιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης της Ηo) είναι:
K: $|t|=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$ > $t_{\frac{a}{2}, {n-1}}$ , με α=0.05
Έτσι |t| = 2.98, ενώ από τους πίνακες της κατανομής t προκύπτει ότι $t_{\frac{a}{2}, {n-1}}$ =

t 0,025,6

=2.447, οπότε απορρίπτουμε την Ηo, δηλαδή η νέα μέθοδος σφάλει.
Πηγή: [1]

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3o
Έστω εταιρία που θέλεινα χρησιμοποιεί δοκιμαστικά στην παραγωγή(ασχολείται με υφάσματα) της ένα νέο υλικό με πάχος 5 χιλιοστά.
ο διευθυντής θέλει να ελέγξει αν ο μέσος της δοκιμαστικής παραγωγής ισούται με 5 χιλιστά(Η0:μ=5)
ακολουθεί δειγμα 30 μετρήσεων
4,1_4,5_4,8_5,0_5,1_5,4_4,9_5,0_5,1_4,3_5,1_5,6_5,6_4,6_5,2_4,5_4,3_4,9_5,2_5,2_5,6_4,8_4,5_5,3_5,5_4,9_5,0_5,2
ΛΥΣΗ
ΣΧ^2=760,2
ΣΧ=150,6
n=30
έτσι $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}= 5.02$
$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2= 0.38$

t=

α=0,05
για ν=n-1=30=29 & α=0,05 η κριτική τιμή │tν,α/2│=│t29,(0,05/2)│=2,045 δηλαδή
│t29│<│t29.0.025│
άρα η υπόθεση μηδέν γίνεται δεκτή και η παραγωγή μπορει να προχωρήσει όπως έχει

Παράδειγμα 4
Μια αυτόματη μηχανή κατασκευάζει άξονες, κυκλικής διατομής 6 cm και ανοχής 0,01 cm. Τυχαίο δείγμα από 25 άξονες έχει μέση διάμετρο 6,003 cm και S=0,002. Αληθεύει η υποψία ότι η μηχανη παράγει άξονες με διάμετρο μεγαλύτερη από 6 cm σε ε.σ. 0,05;
Λύση
Θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση

H 0 :

μ=6, ως προς την εναλλακτική

H 1 :

μ>6 T_{n-1}Εισαγωγή τύπου εδώ</math>
$T_{n-1}= (\bar X - \mu_0 )/ (S / \sqrt n)= (6,003-6)/(0,002/ \sqrt 25)= 7,5$
Είναι:

t n - 1, a = - t n - 1,1 - α

t 24,0.05 = - t 24,0.95 = - 1,711

Επειδή

T n - 1 > t n - 1, a

αφού 7,5>-1,711 απορρίπτουμε την

H 0

υπόθεση. Επομένως είναι βάσιμη η υποψία ότι η μηχανή παράγει άξονες με διάμετρο μεγαλύτερη από 6 cm

Έλεγχος για τη μέση τιμή μη κανονικού πληθυσμού

Έλεγχος για τη μέση τιμή μη κανονικού πληθυσμού (μεγάλα δείγματα)

Αν τα δείγματα είναι μεγάλα δηλαδη $n_1, n_2 \geq 30$ τότε δεν έίναι απαραίτητο να κατανέμονται κανονικά οι 2 α;υτοί πληθυσμοί.
έτσι με΄βάση το ΚΟΘ
η στατιστική $TS=\frac{\bar{X} - \bar{Y} - D_0}{S_{\bar{X}-\bar{Y}}}$

όπου $S_{\bar{X}-\bar{Y}}$ = $\sqrt{\frac{S_x^2}{n_X} + \frac{S_Y^2}{n_Y}}$ έχει προσεγγιστικά Ν(0,1) κατανομή.
Γενικότερα,θεωρώντας ένα τυχαίο δείγμα

X 1

,...,Χν από έναν πληθυσμό που έχει μέση τιμή μ και διακύμανση

σ 2

, μπορούμε να κάνουμε τις εξής υποθέσεις γύρω από τη μέση τιμή:
Αρχική υπόθεση Η:μ= $μ 0$ έναντι των εναλλακτικών

$A 1$ : μ $\neq$ $μ 0$
$A 2$ : μ > $μ 0$
$A 3$ : μ < $μ 0$ .

Χρησιμοποιούμε στατiστική ελεγχου ανάλογα τα δεδομένα που μας δίνονται.

Αν σ γνωστό τότε

z= $\frac{\sqrt{n}\times(X_{\mu}-\mathit{{\mu}}_{0})}{\sigma}$

Αν σ άγνωστο τότε

z= $\frac{\sqrt{n}\times(X_{\mu}-\mathit{{\mu}}_{0})}{S}$

Αν ο πληθυσμός ακολουθεί Διωνυμική κατανομή Β(1, p) (δηλ. μ=p και έτσι Η:p= $p 0$ ) τότε

z= $\frac{\sqrt{n}\times(X_{\mu}-\mathit{{\mu}}_{0})}{\sqrt{p_{0}-p_{0}^2}}$

[επεξεργασία]

Παράδειγμα

Απάντηση
Έστω ότι οι βαθμοί σε ένα τεστ της αγγλικής γλώσσας το οποίο διεξάγεται σε πολλές χώρες την ίδια στιγμή. μας ενδιαφέρει να συγκρίνουμε το μέσο βαθμό σε δύο από τις χώρς. ( τις Α , Β) με γνωστές διακυμάνσεις $\sigma_A^2=400$ και

n A = 37

$\sigma_B^2=500$ και

n B = 35

$\bar{x}_A=1000$ $\bar{x}_B=1000$

H 0 :μ A - μ B

=0και

H 1 :μ A - μ B

άρα αφού  και για τους 2 πληθυσμούς τότε η στατιστική κατανέμεται προσεγγιστικά όπως αναφέρθηκε προηγουμένως ως Ν(0,1)

Για αν υπολογίσουμε την τιμή της από το δείγμα θα πρέπει να υπολογίσουμε την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος:

 = =  = 5,03 άρα ΤΣ= (21,5 - 10)/5,03 = 2,29. Επειδή η H_1 είναι δίπλευρη τότε η τιμή P έιναι η πιθανότητα 2xP(Z>2.29)= 2x[1-P(Z<2.29)]=2x(1-0.989)=0.022 άρα η  $H 0$  Μπορεί να απορριφθεί για α>2,2%

[επεξεργασία]

Παράδειγμα 2

Από τυχαίο δείγμα 112 κατοίκων ενός μικρού χωριού, οι 59 απάντησαν θετικά στο ερώτημα εάν θα ψηφίσουν υπέρ της πρότασης για την κατασκευή ενός συντριβανιού στην πλατεία. Το ερώτημα είναι αν μπορούμε να συμπεράνουμε πως οι θετικές ψήφοι θα υπερβούν το ποσοστό 50% με επίπεδο σημαντικότητας α=0.05.
Απάντηση
'Εστω p το ποσοστό των θετικών ψήφων. Επομένως θεωρούμε ως αρχική υπόθεση Η: p=0.5 έναντι Α: p>0.5 .

$X μ$ = 59/112 =0.527

p 0

=0.5 και

z a = 1.645

(για α=0.05)

έτσι z= $\frac{\sqrt{112}\times(0.527-0.5)}{\sqrt{0.5-0.5^2}}$ =0.57

Κρίσιμη περιοχή C=[1.645,+ $\infty$ )

Τελικά, αφού z δεν ανήκει στο C, δεν απορρίπτουμε την αρχική υπόθεση.

[επεξεργασία]

Παράδειγμα 3

Ένας υποψήφιος δήμαρχος έκανε μια δημοσκόπηση και από τους 672 ψηφοφόρους βρήκε ότι οι 323 (το 48%) θα τον ψηφίσουν. Αν p είναι το ποσοστό που θα πάρει, μπορεί να υποθέσει ότι p=0,5;
Απάντηση
Ελέγχουμε την υπόθεση Ho: p=0,5 αντί της $H_1: p \neq 0,5$ .
Αν $\hat{p}$ είναι το ποσοστό που θα λάβει ο υποψήφιος σε ένα δείγμα 672 ατόμων, τότε η $\hat{p}$ τείνει στην κανονική κατανομή (είναι διωνυμική με μεγάλο δείγμα).
Αν p=0,5 τότε η μέση τιμής της $\hat{p}$ είναι 0,5 και η τυπική απόκλιση 0,019287.
Συνεπώς, P(-1,96< $\frac{\hat{p}-0,5}{0,019287}$ <1,96)= 0,95
Για $\hat{p}$ =0,48, τότε $\frac{\hat{p}-0,5}{0,019287}$ =-1,3, άρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Ho.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4
Ένας αναλυτής μελετά την απόδοση μετοχών του χρηματηστηρίου μας κατα το έτος που πέρασε. Το θέμα που τον απασχολεί είναι αν ο κλάδοσ του εμπορίου απέδωσε όσο ο κλάδος της μεταποιήσης. Έτσι συλλέγει δείγμα 18 μετοχών εμπορικών εταιριών και 20 βιομηχανικών εταιριών.
δεδομένα :
μετοχές εμπορικών εταιριών: n1=18,χ1 μεσος=3.5 , τυπική απόκλιση=1,3
μετοχές βιομηχανικών εταιριών:η2=20, χ2 μεσο=2.7, τυπικη απόκλιση=1,5
Η υπόθεση μηδέν είναι Η0:μ1-μ2=0, με Η1:μ1-μ2≠0
Sp^2=1.9856
$S_{\bar{X}-\bar{Y}}$ = $\sqrt{\frac{S_x^2}{n_X} + \frac{S_Y^2}{n_Y}}=0.4578$
tv=(3.5-2.7)/0.4578=1.747
με βαθμούς ελευθερίας ν=η1+η2-2=18+20=36
σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 και ν=36 η κριτικη τιμη του κριτηριου t ειναι ιση με 2,028 που σημαινει ότι τελικά δεχόμαστε την Η0 και αυτό μας οδηγεί στο οτι δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των ετήσιων αποδόσεων των μετοχών των δυο κλάδων.

Αποικία του Χρέους

Σελίδες

Τρίτη 21 Απριλίου 2015

Έλεγχοι υποθέσεων για τη μέση τιμή

Έλεγχοι υποθέσεων για τη μέση τιμή

Κανονικός πληθυσμός με γνωστή διακύμανση

Διαστήματα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή κανονικού πληθυσμού με γνωστή διακύμανση

Κανονικός πληθυσμός με άγνωστη διακύμανση

Διαστήματα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή κανονικού πληθυσμού με άγνωστη διακύμανση

Έλεγχος για τη μέση τιμή μη κανονικού πληθυσμού

Έλεγχος για τη μέση τιμή μη κανονικού πληθυσμού (μεγάλα δείγματα)

Παράδειγμα

Παράδειγμα 2

Παράδειγμα 3

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Athens

ΞΕΡΕΙΣ ΠΩΣ ΝΑ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΕΙΣ;